¿Por qué la elipse es una "sección cónica"?

Question

Cuando me presentaron por primera vez a las secciones cónicas, me sorprendió un poco que la elipse sea una de ellas. Quiero decir, intuitivamente, si un cono es cortado por una superficie inclinada, uno esperaría que la sección transversal sea en forma de huevo; ya que las secciones circulares planas se vuelven más anchas cuanto más descendemos.

Todavía me resulta extraño por qué la sección transversal de un cono y una superficie inclinada se convierte en una elipse simétrica y no en una en forma de huevo. ¿Alguien puede explicar esto de una manera intuitiva? Una respuesta con una prueba matemática sería buena, pero se volvería perfecta si estuviera seguida de algo de intuición.

Answer 1

Estamos bastante familiarizados con el hecho de que una sección plana del cilindro es una elipse. Supongamos que la línea roja en la siguiente imagen representa un plano, cruzando un cilindro cuyo radio es $r$.

Si una sección fuese perpendicular al eje, sería un círculo con radio $r$, por lo tanto su curvatura sería $k_1=\tfrac 1r$ por todas partes. Sin embargo, para una sección inclinada, obtenemos una elipse, y su curvatura en los extremos de su eje mayor sería (si recuerdo bien) $k = k_1 / \cos(\alpha)$. Por supuesto, gracias a la simetría de toda la figura, tenemos el mismo $r$ y el mismo $\alpha$ en ambos extremos, por lo que ambos 'extremos' de la elipse tienen la misma forma.

Ahora veamos la sección cónica.

Tenemos dos curvaturas en dos 'extremos' de la curva de la sección: $$\begin{align} k_1 = \frac 1{r_1}\cdot\frac 1{\cos\alpha_1} \\ k_2 = \frac 1{r_2}\cdot\frac 1{\cos\alpha_2} \end{align}$$ Su proporción es $$\frac{k_1}{k_2} = \frac{r_2\cos\alpha_2}{r_1\cos\alpha_1}$$ A partir de identidades trigonométricas básicas $$\frac{k_1}{k_2} = \frac{r_2\cos(\pi/2-\beta_2)}{r_1\cos(\beta_1-\pi/2)} = \frac{r_2\sin\beta_2}{r_1\sin\beta_1}$$ De la similitud de los triángulos se deduce que $$\frac{r_2}{r_1} = \frac{L_2}{L_1}$$ y a partir de la ley de senos $$\frac{\sin\beta_2}{\sin\beta_1} = \frac{L_1}{L_2}$$ por lo tanto $$\frac{k_1}{k_2} = \frac{L_2}{L_1}\,\frac{L_1}{L_2} = 1$$ - la curva de la sección tiene ambos 'extremos' de la misma forma (igualmente 'redondos').

Possiblemente de manera similar, se pueda aplicar un razonamiento un poco más general a cada parte de la sección (no solo a los vértices), lo que lleva a una conclusión final: toda la sección es simétrica, por lo tanto no es una elipse con forma de huevo.

Answer 2

Hay dos efectos antagonistas: por un lado, el radio aumenta cuando se desciende, lo que "ensancha" la curva, y por otro lado, el ángulo entre las generatrices y el plano de corte disminuye, haciendo la curva "más larga". Resulta que estos dos efectos se compensan exactamente entre sí por arte de magia, para dar una curva simétrica. (Y por cierto, el eje de simetría de la elipse no está en el eje del cono).

Tal vez un argumento convincente sea observando la ecuación polar, que tiene la forma

$$r=\frac{ep}{1-e\cos\theta},$$ y no tiene por qué producir una curva simétrica (el polo es uno de los focos).

Pero

$$r=ep+er\cos\theta=e(p+x),$$ y al cuadrar $$x^2+y^2=e^2(p+x)^2$$ que es cuadrática, por lo tanto, simétrica.

Answer 3

Voy a intentar dar un argumento intuitivo de por qué es posible que la intersección del plano y del cono sea una elipse. Esto puede hacer más fácil aceptar los argumentos matemáticos más rigurosos que muestran que la intersección debe ser una elipse.

Supongamos que tenemos un cono y una superficie inclinada que corta completamente a través del cono. Considera las muchas secciones circulares del cono perpendiculares a su eje, y la intersección de cada uno de estos discos circulares con la superficie inclinada.

De todos estos discos, el más cercano al vértice del cono interseca el plano inclinado en un único punto. Llamémosle a ese punto $P$. El disco más lejano al vértice del cono también interseca el plano inclinado en un único punto. Llamémosle a ese punto $Q.

Las intersecciones de los otros discos con el plano inclinado son segmentos de línea, todos paralelos entre sí y perpendiculares al segmento de línea $PQ$. Estos segmentos paralelos se pueden ver como cuerdas o "anchuras" de la sección cónica formada por la intersección del cono y el plano inclinado, medidos en diferentes posiciones a lo largo de $PQ.

Para los discos muy cerca de los puntos $P$ o $Q, estos segmentos de línea son cortos.

El segmento de línea más grande no está entre el punto $P$ y el eje, porque al avanzar en el plano inclinado desde $P$ hacia el eje, estamos acercándonos al eje (lo que tendería a aumentar la longitud del segmento de intersección incluso si estuviéramos intersectando un cilindro en lugar de un cono), pero también estamos intersecando discos más grandes, lo que también tiende a hacer más largas las líneas de intersección.

Ahora considera el disco que interseca el eje del cono en el mismo punto donde el plano inclinado interseca el eje. A medida que el plano inclinado pasa a través de este disco, la distancia desde el eje casi no tiene efecto en la longitud de los segmentos de intersección (porque al tomar cuerdas cerca del diámetro de un círculo, el cambio en la longitud de la cuerda es mucho, mucho menor que la distancia entre la cuerda y el diámetro), pero el plano inclinado sigue cortando discos más y más grandes, por lo que la longitud de los segmentos de intersección continúa aumentando debido a ese efecto.

Eventualmente, por supuesto, el efecto de alejarse del eje (cortando partes más pequeñas del disco) superará el efecto de cortar discos más grandes, porque eventualmente la intersección se reduce a un punto en $Q$. Así que el segmento de intersección más grande está en algún lugar entre el eje y $Q.

Pero como notarás al examinar brevemente una sección transversal del cono a lo largo del eje, mostrando cómo el plano inclinado interseca el cono en los puntos $P$ y $Q, el punto $P$ está más cerca del vértice que $Q$, y por lo tanto también más cerca del eje. Así que el punto medio de $PQ$ está en algún lugar entre el eje y $Q.

Ahora tenemos que la mayor cuerda ("anchura") de la sección cónica ocurre no en el eje del cono, sino en algún lugar entre el eje y el punto $Q; y también el punto medio de $PQ$ está en algún lugar entre el eje y el punto $Q.

Resulta que estas dos cosas están de hecho a la misma distancia del eje del cono, es decir, la cuerda más larga de la sección cónica pasa por el punto medio del eje $PQ$ de la sección cónica. Este argumento no ha demostrado ese hecho, por supuesto; para eso están las pruebas matemáticas más rigurosas. Pero este argumento debería hacer un poco más aceptable que ambas de estas cosas puedan ocurrir en el mismo lugar.

Answer 4

No puedo pensar en una razón realmente simple e intuitiva para que la elipse sea una sección cónica. Pero una vez que sabes que la ecuación de un cono es cuadrática en $(x, y, z)$, entonces su intersección con un plano (que podemos tomar sin pérdida de generalidad como dado por $z=0$) dará una ecuación cuadrática en $(x, y)$. Y la única curva cerrada cuadrática en el plano es una elipse.

Answer 5

Me encontré con una hermosa ilustración en un hilo de MO y recordé esta pregunta. Sabiendo que esta pregunta es bastante antigua, no puedo resistirme a agregar esta (también fue mencionada en los comentarios).

La idea clave es el hecho de que las tangentes a un círculo/esfera tienen la misma longitud. Así que la única parte restante es probar que para cada sección transversal no paralela al eje del cono, existen esferas (lo cual no es tan difícil ;). Luego, para cada $P$ en la sección transversal podemos escribir: $$|F_1P|+|F_2P|=|P_1P_2|$$