Cómo puedo probar que $|\nabla u|=|\nabla|u||$ al $u$ es lo suficientemente regulares como por ejemplo Lipschitz o $W^{1,1}_{loc}$.
Otra pregunta es acerca de la pointwise derivado al $f:[0,1]\to R$ es BV es posible demostrar que $|f'|=||f|'|$?
Respuesta
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He aquí cómo la prueba va por $W^{1,1}(\mathbb{R}^n)$. Debe ser adaptable al espacio de Sobolev de su elección.
Primero debemos establecer la regla de la cadena:
La proposición. Supongamos $\psi \in C^1(\mathbb{R})$ satisface $\psi(0) = 0$$|\psi'| \le C$. Si $f \in W^{1,1}$,$\psi \circ f \in W^{1,1}$, e $\nabla (\psi \circ f) = (\psi' \circ f) \nabla f$.
Prueba. Tome $f_n \in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)$$f_n \to f$$L^1$$\nabla f_n \to \nabla f$$L^1$. De pasar a la larga, también podemos asumir tanto las convergencias se mantienen en casi todas partes.
Desde $\psi$ es continua, tenemos $\psi \circ f_n \to \psi \circ f$ en casi todas partes. Adicionalmente, dado que el $\psi$ es de Lipschitz, tenemos $|\psi \circ f_n| \le C |f_n|$; puesto que el $f_n$ están convergiendo en $L^1$, una versión del teorema de convergencia dominada da $\psi \circ f_n \to \psi \circ f$$L^1$.
Ahora por cálculo tenemos $\nabla (\psi \circ f_n) = (\psi' \circ f_n) \nabla f_n$. Desde $\psi'$ es continua, $\nabla (\psi \circ f_n) \to (\psi' \circ f) \nabla f$ pointwise, y desde $|\nabla(\psi \circ f_n)| \le C |\nabla f_n|$ donde $\nabla f_n$ converge en $L^1$, como antes hemos $\nabla(\psi \circ f_n) \to (\psi' \circ f) \nabla f$$L^1$.
En particular, $\{\psi \circ f_n\}$ es de Cauchy en $W^{1,1}$, y converge a$\psi \circ f$$L^1$, así también por la integridad de $W^{1,1}$ debemos tener $\psi \circ f_n \to \psi \circ f$ $W^{1,1}$ (en particular,$\psi \circ f \in W^{1,1}$). El operador gradiente continuo es de$W^{1,1}(\mathbb{R}^d)$$L^1(\mathbb{R}^d, \mathbb{R}^d)$, por lo que debemos tener $\nabla (\psi \circ f_n) \to \nabla (\psi \circ f)$$L^1$. Pero nos han mostrado $\nabla(\psi \circ f_n) \to (\psi' \circ f) \nabla f$, por lo que debe ser ese $\nabla (\psi \circ f) = (\psi' \circ f)\nabla f$ en casi todas partes. QED regla de la cadena.
La notación. Vamos a dejar que $s(t)$ denotar el signo de $t$, salvo que tomamos $s(0) = 1$.
Deje $f \in W^{1,1}$, y tomar una secuencia $\psi_n$ $C^1(\mathbb{R})$ funciones que:
- $\psi_n(t) \to |t|$ pointwise;
- $\psi_n'(t) \to s(t)$ pointwise;
- $\psi_n(0) = 0$;
- $|\psi_n'| \le 2$.
(La construcción de este tipo de secuencia se deja como ejercicio. Sugerencia: construcción $\psi_n'$ primero y luego integrar.) Tenemos $\psi_n \circ f \to |f|$ pointwise, y $|\psi_n \circ f| \le 2|f|$ tan dominado por la convergencia, la convergencia es también en $L^1$. También tenemos $\nabla (\psi_n \circ f) = (\psi_n' \circ f) \nabla f \to (s \circ f) \nabla f$ pointwise, y $|\nabla (\psi_n \circ f)| \le 2 |\nabla f|$, por lo que esta convergencia es en $L^1$. Por el mismo argumento anterior, nos encontramos con que $|f| \in W^{1,1}$ $\nabla |f| = (s \circ f)\nabla f$ en casi todas partes. En particular, desde la $|s(t)| = 1$, $|\nabla |f| | = |\nabla f|$ en casi todas partes.
