Convergencia de opiniones

Question

Este es uno más fuerte relacionados con la cuestión de la Convergencia de $\lim_{n,v \rightarrow \infty} \int_0^1 f_n (x) e^{-i2\pi v x} \mbox{d} x$.

$F_n(x) : [0,1] \rightarrow \bf R$, para $1 \leq i \leq n$, $F_n(x)= n\cdot g_{n,i}(x)$ si $x \in [\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n})$, $g_{n,i}$ una serie de funciones integrables. Como $n, v \in \bf N$ va al infinito, simultáneamente, a la misma velocidad, demostrar la convergencia de
$$\lim_{n,v \rightarrow \infty} \int_0^1 F_n(x) e^{-i2\pi v x}\,\mbox{d} x$$ si $v/n$ no es un número entero.

Answer 1

Deje $F_n(x)=nx$. Podemos modificar los valores de $F_n$ en un número finito de puntos, por lo que satisface el máximo y el mínimo de condiciones en el post. Entonces

$$\int_0^1 F_n(x)e^{-i2\pi vx} dx=\int_0^1 nx e^{-i2\pi vx} dx=\frac{i}{2\pi}\frac{n}{v}$$

y claramente el límite que usted está interesado en no existe.

EDIT. También se puede modificar $F_n(x)$ a aquellos que un número finito de puntos, por lo que el $F_n(x)$ es continua para todos los $n$.