Resolver una desigualdad de $|x| + |x-y| \geq |x_0| + |x_0-y| $ $y$

Question

Fix $x_0 \in \mathbb R^n$. Describa $y \in \mathbb R^n$ que satisface $|x| + |x-y| \geq |x_0| + |x_0-y|$ todos los $x \in \mathbb R^n$.

He intentado triángulo de las desigualdades (incluyendo la inversa) en repetidas ocasiones, pero no parece funcionar. ¿Cómo puedo describir esta $y$?

Answer 1

Si $x_0=0$, claramente la desigualdad es satisfecha por todos los vectores $y$. Supongamos $x_0\ne0$. Si la condición dada sostiene, en particular, se debe mantener para $x=0$. Por lo tanto \begin{align*} |y| = |0| + |0-y| \geq |x_0| + |x_0-y|\ge|y|. \end{align*} Por lo tanto, la igualdad en la desigualdad de triángulo $|x_0|+|y-x_0|\ge|y|$, lo que significa que $y-x_0$ es no negativo múltiples de $x_0$. Así llegamos a la conclusión de que $y=kx_0$ algunos $k\ge1$.

Queda por comprobar que la desigualdad original, de hecho, tiene al $y=kx_0$ algunos $k\ge1$. Yo se la dejo a usted.

Answer 2

Geométricas consideración muestra que $y$ $x_0$ co-lineal y para este propósito, analíticamente, vamos a $x=\lambda y+(1-\lambda)x_0$ $\lambda>0$ $$|\lambda y+(1-\lambda)x_0| + |\lambda y+(1-\lambda)x_0-y| \geq |x_0| + |x_0-y|$$ $$|\lambda y+(1-\lambda)x_0| + (1-\lambda)|x_0-y| \geq |x_0| + |x_0-y|$$ $$|x_0-\lambda(x_0-y)| \geq |x_0| + \lambda|x_0-y|$$ esta desigualdad válida sólo si $\lambda(x_0-y)=k x_0$, para una real $k$.