Cómo resolver esta ecuación trigonométrica $\tan 2x -\tan x=2$ ?

Question

La ecuación a resolver,

$$\tan 2x -\tan x=2$$

Mi intento :

$$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}$$

$$\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} -\tan x=2$$

$$\frac{2\tan x-\tan x(1-\tan ^2 x)}{1-\tan^2x} =2$$

$$2-2\tan^2x =2\tan x-\tan x+\tan^3x $$

$$\tan^3x+2\tan^2x+\tan x-2=0$$

$\tan x= t$

$$t^3+2t^2+t-2=0$$

ahora :?

Answer 1

El teorema de las raíces racionales da $\pm(1,2)$ como raíces candidatas. Ninguna de ellas produce realmente ceros. Tu recurso es confiar en la fórmula cúbica o en un método numérico, como comentó qt.

Si quieres explorar una solución numérica a mano, puedes afinar la solución con un poco de análisis.

\begin {align} y&=t^3+2t^2+t-2 \\ \\ y'&=3t^2+4t+1 \\ &= (t+1)(3t+1) \end {align}

La función tiene puntos críticos en $t=-1,-\frac{1}{3}$ . Podemos determinar que ambos $y(-1)<0$ y $y(-1/3)<0$ . Dado que se trata de un polinomio cúbico, concluimos que $y<0$ (es decir, sin ceros) para $t<0$ .

Desde $y(0)=-2$ y $y'>0$ para $t>0$ sabemos que hay un único cero para $t>0$ . Por la inspección, debe estar dentro de $(0,1)$ . Puedes probar el método de Newton desde aquí, si quieres obtener una solución numérica a mano.

Answer 2

Ahora tienes que resolver el polinomio. Por desgracia, no hay raíces racionales, así que te sugiero que calcules esto

https://www.wolframalpha.com/input/?i=t%5E3%2B2t%5E2%2Bt-2%3D0

Cuando se obtiene el valor de $t$ Trabaja de nuevo con las funciones tangentes para encontrar los valores de $x$ que satisfagan la primera ecuación.