¿Cómo encontrar este límite a través de L'Hopitals regla?

Question

$$\lim_{x \to \pi/2^{-}} { \tan(x) \over \ln \left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$$

He intentado hacerlo, pero sigo recibiendo $0/-1$

Answer 1

Es necesario evaluar el

$$\lim_{x \to \pi/2 ^-} { \tan(x) \over \log \left(\frac{\pi}{2} - x\right)}$$

No es la misma como la evaluación de $y=\pi/2-x$$y \to 0^+$, a saber:

$$\lim_{y \to 0^+} { \tan \left( \frac {\pi} 2-y\right) \over \log y}$$

Tenga en cuenta que $\tan \left( \frac {\pi} 2-y\right)=\dfrac 1 {\tan y}$, por lo que el límite que se busca es:

$$\lim_{y \to 0^+}{\cot y \over {\log y}}$$

Esta es una indeterminada $\infty \over \infty$ forma, así que vamos elementos a aplicar L'Hòpital la regla:

$$\lim_{y \to 0^+}{\cot y \over {\log y}} = -\lim_{y \to 0^+}{\sin^{-2} y \over { y^{-1}}}$$

que es el mismo que

$$-\lim_{y \to 0^+}{y \over {\sin y}}{ 1 \over \sin y}$$ $$- \mathop {\lim }\limits_{y \to {0^ + }} \underbrace {\frac{y}{{\sin y}}}_{ \to 1}\frac{1}{{\underbrace {\sin y}_{ \to 0}}} = - \infty$$

Como André es lo que sugiere en su respuesta, la función no acercarse a un límite finito, por lo que formalmente decimos que el límite no existe. Sin embargo, como usted puede haber experimentado, podríamos informalmente tenga en cuenta que la función toma más y más valores negativos para $x$ cerca de $\pi /2$ por

$$\lim_{x \to \pi/2 ^-} { \tan(x) \over \log \left(\frac{\pi}{2} - x\right)}=-\infty$$

Answer 2

Aplicar la Regla de L'Hospital de. Así que queremos que el límite de $$\frac{\sec^2 x}{-\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}-x}}$$ como $x$ enfoques $\pi/2$ desde la izquierda. Reescribir la expresión anterior como $$-\frac{\frac{\pi}{2}-x}{\cos^2 x}.$$ Aplicar la Regla de L'Hospital de nuevo. Tomando derivados llegamos a $$\frac{1}{-2\sin x\cos x}.$$ El límite de esta, como $x$ enfoques $\pi/2$ desde la izquierda, no existe, y por lo tanto tampoco lo hace nuestro límite original.

O bien, si permitimos $\infty$ $-\infty$ como límites, entonces como $x$ enfoques $\pi/2$ desde la izquierda, $\frac{1}{-2\sin x\cos x}$ enfoques $-\infty$, ya que el $\sin x$ enfoques $1$, e $\cos x$ enfoques $0$ a través de valores positivos. Por lo que el límite de la expresión original es $-\infty$.