Pregunta sobre la serie de Taylor vs. la serie de Fourier

Question

Estoy empezando a estudiar las series de Taylor por primera vez en serio, las ignoré cuando empecé a hacer cálculos pero ahora que estoy haciendo Análisis Real he intentado comprenderlas de verdad.

Una cosa que me intrigaba es la diferencia entre las series de Fourier y Taylor (aparte de que las funciones de base son diferentes). Lo que quiero decir es que si una función cumple la condición para una serie de Fourier, entonces teóricamente tomando suficientes términos, podrías recrear la función sobre toda la línea numérica real sólo usando la serie, ¿verdad?

Parece que con los polinomios de Taylor, la idea es que debido a que se definen en los barrios sobre algún punto, digamos $c$ entonces tomar más términos de la serie sólo significa que estás recreando la función en algún vecindario sobre $c$ . Pero si tomo suficientes términos, ¿podría recrear la función original en toda la línea de números?

Gracias

Answer 1

Las series de Fourier están diseñadas para funciones periódicas. Cuando se calcula la serie de Fourier de una función, se supone que esta función es periódica. Así, cuando se tiene una serie de Fouries que representa una función en el intervalo de periodos (a menudo es $[0,2\pi]$ ), la serie de Fourier representa esa función en toda la recta real.

Con la serie Taylor, es diferente. No asumes que la función dada es periódica. Se "espera" expresar la función en la vecindad de un punto dado mediante su serie de Taylor centrada en ese punto. Un valor importante de una serie de Taylor es su "radio de convergencia", que indica en qué parte de la recta real tiene sentido la serie de Taylor. No es necesariamente cierto que una función definida en toda -o la mayor parte- de $\mathbb R$ puede expresarse mediante su serie de Taylor centrada en un punto concreto. Consideremos por ejemplo $$ f(x) = \frac{1}{1-x} = \sum_{j=0}^\infty x^j. $$ $f$ se define en $\mathbb R\setminus\{1\},$ y la h.r. es su serie de Taylor centrada en $0.$ La serie de Taylor converge para $|x| < 1,$ que no coincide con el dominio de definición de $f.$

El comportamiento de las series de Taylor se hace mucho más comprensible si se pasa de $\mathbb R$ a $\mathbb C.$

Answer 2

Para ampliar mi comentario.

Existe una relación interesante entre las series de Taylor y las series de Fourier. Podemos pensar en una función periódica como una función en un círculo. Los elementos del círculo unitario, cuando se escriben como números complejos, se escriben como $z=e^{i\theta}=\cos \theta + i\sin \theta$ y $z^n=\cos n\theta + i\sin n\theta$ . Entonces podemos escribir la serie de Fourier como $\sum_{n=-\infty}^\infty a_nz^n$ . Esto significa que podemos romper la serie de Fourier para $f$ en dos series de Taylor: $$g(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\\h(z)=\sum_{n=1}^\infty a_{-n}z^n$$ con $f(z)=g(z)+h(1/z)$ cuando $z$ está en el círculo unitario.