Asintótica de la densidad de Zhang de los números primos

Question

En este punto, es bien sabido que Yitang Zhang del resultado implica para algunos $c$, hay una infinidad de números primos $p$ tal que $p+c$ es también el primer, y que los más pequeños de tal $c$ es de menos de $70,000,000$ (que se redujo a $246$ gracias a todos los que trabajaron en el Proyecto Polymath).

Me pregunto si alguien se ha extendido a determinar la densidad asintótica de estos números primos, aunque no conocemos el valor exacto de $c$.

Gracias de antemano por sus comentarios

Answer 1

Supongamos $\mathcal{H}_m$ es la admisibilidad de una tupla de tamaño $m$, como en el lenguaje de Zhang-Tao-Maynard-Polymath. Por ejemplo, $(t, t+2, t+6)$ es admisible $3$-tupla. A continuación, los resultados de Zhang-Tao-Maynard-Polymath han demostrado la existencia de algunos $k(m)$, dependiendo sólo del tamaño de $m$, de tal manera que hay una infinidad de $t$ para el cual admisible $k$-tuplas tener al menos $m$ simultánea de los números primos.

János Pintz, en su papel de Polignac Números, Conjetura de Erdős en las Brechas entre los números Primos, Progresiones Aritméticas de números Primos, y la Limitada La brecha de Conjetura, muestra que esta $k$ da también un límite inferior en la densidad, en el sentido de que hay al menos $$ \Omega\left(\frac{X}{\log^{k(m)}(X)}\right)$$ $k$-tuplas con $t \leq X$ $m$ simultánea de los números primos. Asintóticamente, esto significa que la densidad de tales $m$-simultánea de los números primos es al menos $$ \frac{c}{\log^{k(m)}(X)}$$ para algunas constantes $c$.

Por ejemplo, supongamos que $k(3) = 1000$, lo que significa que es admisible $1000$-tuplas tienen $3$ simultánea de los números primos infinitamente a menudo. Entonces, en el hecho de que la densidad de un infinito de configuración (que no conocemos) es algo así como $$ \frac{1}{\log^{1000}(X)}.$$

Por supuesto, esperamos que la densidad verdadera a ser mucho más como $$ \frac{1}{\log^3 (X)}.$$