estimación de $\pi$ $e$ mediante la serie de Taylor de $\cos x$

Question

¿cómo se puede mostrar, que $3<\pi<3.2$, $2.7<e<3$ por sólo saber, la estimación de $\cos(x)$, a saber:

$$1-x^2/2+x^4/24-x^6/720\le\cos(x)$$ ?

Si me sustituir Pi/2 en esta estimación, acabo de tener una expresión con un montón de Pasteles..? ¿Tengo que usar la fórmula de Euler para el segundo ejercicio? Gracias

Answer 1

Te voy a mostrar cómo utilizar esto para obtener $3.1 < \pi$ sin supuestos y $\pi < 3.2$ si asumimos que ya sabemos es menor que 6.

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Mostrando $\pi < 3.2$:

$1 - (\pi/2)^2/2 + (\pi/2)^4/24 \geq \cos(\pi/2) = 0$

Escribir $x = (\pi/2)^2$

A continuación,$x^2/24 - x/2 + 1 \geq 0$.

Este es cuadrática, como mínimo a 6, y negativos en ambos 9 y en 2.54 (por lo tanto, para todos los valores intermedios). Suponga $\pi < 6$$\pi/2 < 3$$(\pi/2)^2 < 9$. A continuación,$(\pi/2)^2 < 2.54$. Ahora$(3.2/2)^2 = 2.56$$\pi < 3.2$.

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Mostrando $\pi > 3.1$:

Ahora considere el $1 - (\pi/2)^2/2 + (\pi/2)^4/24 - (\pi/2)^6/720 \leq 0$.

De nuevo, escribir $x = \pi/2$. Entonces:

$1 - x/2 + x^2/24 - x^3/720 \leq 0$

Reclamo: Este cúbico es estrictamente decreciente. Prueba: Tome la derivada. Es $-1/2 + x/12 - x^2/120$. Esto tiene un máximo en $x = 5$, donde es negativa. Así, la cúbico es estrictamente decreciente.

Ahora podemos comprobar que algunos de los valores de la cúbico. Vemos al $x = 2.46$ es positivo. Por lo tanto $(\pi/2)^2 > 2.46$.

Ahora$(3.1/2)^2 = 2.4025 < 2.46$$\pi > 3.1$.

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Suplemento mostrando el $\pi < 6$:

No hay ninguna posibilidad de que podamos mostrar a $\pi < 6$ como este, porque todos los que estamos usando es que $\cos(\pi/2) = 0$, pero coseno es cero en $3\pi/2$ etc.

A ver $\pi < 6$, existen varios métodos. Por ejemplo, el uso de la prueba geométrica que $\pi < 4$ debido a que la unidad de círculo inscrito en un cuadrado de lado de longitud dos, de manera que el área del círculo unitario, $\pi$, es menor que el área de la plaza, 4.