¿Por qué es así?

Question

Estoy lidiando con series de Fourier y estoy tratando de averiguar $\log(1+e^x) - \frac{x}{2}$ es incluso??? He intentado $f(-x) = f(x)$ método pero no me da la igualdad. Pero he representado, y es incluso? :S

Answer 1

$$\begin{align} \ln(1+e^x)-\frac x2 &= \ln(1+e^x)-\ln(e^{\frac x2}) \\ &= \ln\left((1+e^x)e^{\frac {-x}2}\right) \\ &=\ln(e^{\frac {-x}2} +e^{\frac x2}) \\ \end{align}$$ A partir de esto debería ser obvio que la función es, de hecho, incluso.

Answer 2

Otra manera de tratar esto es que una función continua $ \ f(x) \ $ puede ser "separados" en "par" e "impar" de los componentes,

$$ f_e(x) \ = \ \frac{f(x) \ + \ f(-x)}{2} \ \ \ \text{and} \ \ \ f_o(x) \ = \ \frac{f(x) \ - \ f(-x)}{2} \ \ . $$

Aquí, hemos

$$ f_o(x) \ = \ \frac{[ \ \log(1+e^x) \ - \ \frac{x}{2} \ ] \ - \ [ \ \log(1+e^{-x}) \ - \ \frac{(-x)}{2} \ ]}{2} $$

$$ = \ \frac{ \ \log(1+e^x) \ - \ \ \log(1+e^{-x}) \ - \ x }{2} $$

$$ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ \log \left(\frac{1+e^x}{1+e^{-x}} \right) \ - \ x \ \right] \ = \ \frac{1}{2} \ \left[ \ \log \left(\frac{e^x \ [1+e^x]}{e^x+1} \right) \ - \ x \ \right] \ \ $$

$$ = \ \frac{1}{2} \ [ \ \log (e^x ) \ - \ x \ ] \ \ = \ \ \frac{1}{2} \ [ \ x \ - \ x \ ] \ = \ 0 \ \ . $$

Nuestra función tiene cero "impar de componentes", por lo que es puramente incluso. [Podríamos también han demostrado que la $ \ f_e(x) \ = \ f(x) \ $ .]

Answer 3

Por qué se dice que la comprobación $f(-x)=f(x)$ no funciona? Por supuesto que sí. $\ddot\smile$ $$\ln(1+e^{-x})-\frac{-x}2=\ln\frac{e^x+1}{e^x}+\frac x2=\ln(e^x+1)-\ln e^x+\frac x2=\\=\ln(1+e^x)-x+\frac x2=\ln(1+e^x)-\frac x2$$