Derivado de la $a^x$ a partir de primeros principios

Question

He estado tratando de pensar en los últimos días cómo se podría diferenciar $a^x$ basado en la definición de que $a^n$ es la multiplicación repetida, $a^{n/m}=(\sqrt[m]a)^n$, e $a^x$ es la finalización de la función de arriba por la continuidad.

Con un poco de álgebra, el problema rápidamente reduce a encontrar la derivada en $0$:

$$\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}\tag{1}$$

Y ese límite que realmente me tiene perplejo. Ya que obviamente va a tener que utilizar la definición de alguna manera, pensé en reemplazar a $h$ $\frac{1}{n}$ y el uso de la $n$-ésima raíz de la definición:

$$\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]a-1)\tag{2}$$

Por supuesto, sólo porque $(2)$ existe no implica automáticamente $(1)$ existe, pero podría ser un primer paso. Incluso $(2)$ me tiene perplejo, aunque.

Answer 1

Tengo que apreciar el esfuerzo puesto por la OP para definir la función exponencial $a^{x}$ $a > 0$ por la ampliación de los algebraico definición al $x$ es racional para el caso de que $x$ es irracional mediante la continuidad del argumento. Aunque no hay nada malo con este enfoque resulta ser una de las rutas de difícil para una teoría de la logarítmica y exponencial de la función.

Ahora, de vuelta a la pregunta en cuestión. La diferenciación por el primer principio de la $f(x) = a^{x}$ implica la evaluación de límite $$L(a) = \lim_{h \to 0}\frac{a^{h} - 1}{h}$$ The challenge here is not to find $L(a)$ but to prove that this limit exists. Clearly the limit wont exist unless we have $\lim_{h \to 0}^{h} = 1$. So as a part of definition of $^{x}$ we must ensure that we have established $\lim_{h \to 0}^{h} = 1$.

Tenga en cuenta que si $a = 1$, entonces el límite es de $0$ trivialmente. Así que vamos a $a \neq 1$ y, a continuación, hay dos casos $a > 1$$0 < a < 1$. Claramente poniendo $a = 1/b$ podemos ver que $L(1/a) = L(b) = -L(a)$ (nota al probar esto necesitaremos $\lim_{h \to 0}a^{h} = 1$) y, por tanto, es suficiente para considerar el caso de $a > 1$.

Ahora desigualdades venir al rescate. A partir de esta respuesta hemos $$\frac{a^{r} - 1}{r} > \frac{a^{s} -1 }{s}$$ where $r, s$ are positive rationals and $r > s$. Note that by continuity arguments the inequality can be extended to positive irrational values of $r, s$ with $r > s$ but then the inequality weakens to $\geq$. There are ways to make this inequality strict for irrationals $r, s$ but we won't need the strict version here. Clearly from the above we can see that the function $g(h) = (a^{h} - 1)/h$ is an increasing function of $h$ for $h > 0$. Clearly since $a > 1$ it follows that $g(h) > 0$ for all $h > 0$. Now as $h \a 0^{+}$ the function $g(h)$ decreases but is bounded below by $0$ hence tends to a limit $L(a)$.

Si $h \to 0^{-}$, entonces podemos poner $h = -k$ y ver que $$\lim_{h \to 0^{-}}\frac{a^{h} - 1}{h} = \lim_{k \to 0^{+}}\frac{1 - a^{k}}{-ka^{k}} = \lim_{k \to 0^{+}}\frac{a^{k} - 1}{k} = L(a)$$ It now follows that $g(h)$ tends to a limit as $h \to 0$ which we have denoted by $L(a)$.

Por más cuidadosas consideraciones se puede demostrar que $a > 1$ implica que el $L(a) > 0$ y desde $L(1/a) = -L(a)$ tenemos $L(a) < 0$ si $0 < a < 1$. Puede ser establecido utilizando las desigualdades que $L(a) $ es estrictamente creciente en función de $a$$a > 0$. Esta función $L(a)$ es tradicionalmente escrito como $\log a$. Propiedades simples como $\log(ab) = \log a + \log b$ se puede demostrar muy fácilmente utilizando esta definición. El uso de este también conseguimos $\log(a^{n}) = n\log a$ para cualquier entero$n$, lo que muestra que el rango de esta $\log $ función es $(-\infty, \infty)$.

Ahora es sencillo mostrar que $(a^{x})' = a^{x}\log a$. A continuación se pueden definir $e$ $\log e = 1$ y, a continuación,$(e^{x})' = e^{x}$, y podemos probar que $e^{\log a} = a$ $a > 0$ $\log (e^{a}) = a$ todos los $a$. Por lo tanto $\log x$ $e^{x}$ son inversas y $(\log x)' = 1/x$ por la norma para la diferenciación de las funciones inversas. Espero que usted pueda proceder a lo largo de estas líneas a desarrollar toda la teoría de la exponenciales y funciones logarítmicas.

Answer 2

¿Qué acerca del uso de $\;a^x=e^{x\log a}\;?$

$$\frac{a^h-1}h=\frac{e^{h\log a}-1}h\;\;\stackrel{\text{subst.}\;h\log a\to x}=\;\;\frac{e^x-1}{\frac x{\log a}}\xrightarrow[x\to 0]{}\log a$$

ya que, en la sustitución anterior, $\;h\to 0\iff x=h\log a\to 0\;$

Answer 3

Así, históricamente, que es simplemente la definición de logaritmo natural, para definir

$$l(a)=\lim_{n\to\infty}n(\sqrt[n]{a}-1)$$

y a la conclusión de que esta función tiene las propiedades habituales de un logaritmo, como $l(ab)=l(a)+l(b)$.

Answer 4

Una interesante manera de demostrarlo es la siguiente:

Suponiendo que usted puede probar $\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}$, se puede escribir: $$ x=\ln(x)\Rightarrow\ln(a^x)=x\ln(a). $$ Por lo tanto: $$ \frac{d}{dx}\ln(a^x)=\frac{d}{dx}x\ln(a)=\ln(a), $$ Pero por la regla de la cadena, $\frac{d}{dy}\ln(y)=\frac{1}{y}\frac{d}{dy}y$, por lo tanto: $$ \frac{d}{dx}\ln(a^x)=\frac{1}{a^x}\frac{d}{dx}a^x. $$ Por lo tanto: $$ \frac{1}{a^x}\frac{d}{dx}a^x=\ln(a). $$ Finalmente: $$ \frac{d}{dx}a^x=a^x\ln(a) $$