Calcular la homología de grupos de una superficie dada

Question

Deje $\triangle^2=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x,y\wedge x+y\le1\}$ (es decir, un triángulo rectángulo). Definir la equivalencia de la relación de $(t,0) \sim (0,t)\sim (t,1-t)$.

Quiero calcular la homología de grupos de $\triangle^2/\sim$.

Un intento por hacerlo fue definir $U=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0< x,y\wedge x+y<1\}$$V=\triangle^2 \setminus \{1/3,1/3\}$.

Está claro que $U\cup V = \triangle^2$, por lo que Mayer-Vietories podría ser útil aquí.

Toma nota de los siguientes hechos:

• $V$ es un retractarse de la deformación de la frontera del triángulo y puesto que todas las líneas están identificados es homeomórficos a $S^1$, y así $H_2(V)=0$, $H_1(V)=\mathbb{Z}$ y $\tilde{H}_0(V)=\mathbb{Z}$.
• $U$ es retráctil y por lo que la dimensión positiva de la homología de grupos de desaparecer, y es cero dimensional de homología grupo es $\mathbb{Z}$
• $U\cap V$ es de nuevo homotopy equivalente a $S_1$

En este punto es muy fácil ver (con M. V) que $H_n(\triangle^2 / \sim ) = 0$ $n>2$ y también para $n=0$.

Para valores más bajos de $n$, tomando el M. V. de la secuencia de reducción de homologías y colocando los valores ya sé, me da. $0\to H_2(\triangle^2 / \sim ) \to \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\to H_1(\triangle^2 / \sim )\to 0$.

Este es el punto donde no sé qué hacer a continuación, y cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

El hecho de saber que es la secuencia exacta no es suficiente ya que, por ejemplo, $H_2(\Delta^2/\sim) = 0 = H_1(\Delta^2/\sim)$ $H_2(\Delta^2/\sim) = 0, H_1(\Delta^2/\sim) = \mathbb Z/n\mathbb Z$ tanto trabajo.

Por lo que usted necesita para buscar en el mapa a $H_1(U \cap V) \to H_1(U) \oplus H_1(V) \simeq 0 \oplus H_1(V)$, el cual es dado por las dos inclusiones. Pero $U\cap V$ es una deformación retractarse de $V$, de modo que la inclusión $U \cap V \to V$ induce un isomorfismo en la homología. Así, el mapa de $H_1(U \cap V) \to H_1(U) \oplus H_1(V)$ es un isomorfismo de modo que $H_2(\Delta^2/\sim) = 0 = H_1(\Delta^2/\sim)$.