Cualquier correlación Merten de la función?

Question

Aquí está una parcela de sumas parciales de Liouville Lambda y Moebius Mu:

Cuenta de las diferencias (en verde) están muy cerca de llegar a $-n^{\frac{1}{2}}$.

¿Tiene esto alguna correlación Merten de la función?

Edit$$M(x)=O(x^{ \frac{1}{2}+\epsilon})$$ for some $\epsilon<\frac{1}{2}$

Edición de prueba de 50 millones de con $\epsilon=\frac{1}{32},$ sin excepciones.

Answer 1

Deje $\mu(n)$ denotar la función de Möbius, vamos a $\lambda(n)$ denotar la función de Liouville, y deje $M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n)$ $L(x) = \sum_{n \leq x} \lambda(n)$ denotan su summatory funciones. La hipótesis de Riemann implica $M(x) = O_{\varepsilon}(x^{1/2 + \varepsilon})$$L(x) = O_{\varepsilon}(x^{1/2 + \varepsilon})$.

De hecho, si se supone que el RH y la simplicidad de los ceros de $\zeta(s)$, entonces se puede demostrar que \[\frac{M(x)}{\sqrt{x}} = \sum_{\rho} \frac{1}{\zeta'(\rho)} \frac{x^{i\gamma}}{\rho} \] para $x$ un real positivo que no es un número entero. Aquí la suma es sobre los ceros no triviales $\rho = 1/2 + i\gamma$$\zeta(s)$.

Del mismo modo, se puede demostrar que bajo las mismas hipótesis que \[\frac{L(x)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\zeta(1/2)} + \sum_{\rho} \frac{\zeta(2\rho)}{\zeta'(\rho)} \frac{x^{i\gamma}}{\rho} \]

Esto explica por qué las funciones buscar similares: como $x^{i\gamma} = \cos(\gamma \log x) + i \sin(\gamma \log x)$, estas funciones básicamente ver como las sumas de las ondas trigonométricas de la disminución de la amplitud y la frecuencia.

Así que si uno traza la diferencia, se encuentra que \[\frac{L(x) - M(x)}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\zeta(1/2)} + \sum_{\rho} \frac{(\zeta(2\rho) - 1)}{\zeta'(\rho)} \frac{x^{i\gamma}}{\rho}. \] Lo que están viendo en sus parcelas es la presencia de los "principales término" $1/\zeta(1/2)$. Sin embargo, la contribución de las ondas trigonométricas no puede ser ignorada: aunque por lo general la "secundaria términos" no son muy grandes, muy de vez en cuando se puede ser grande (y si uno asume una conjetura llamado la independencia lineal de hipótesis, se puede demostrar que la secundaria términos pueden ser arbitrariamente grande).

Para más información sobre este fenómeno, véase, por ejemplo, mi papel aquí: http://arxiv.org/abs/1108.1524