Cada subespacio de un espacio compacto es compacto?

Question

Parece como si cada subespacio de un topológicos compactos espacio (equipada con su pariente topología) habían debe ser compacto así. Esto es cierto en general?

Y, en particular, quiero usar el hecho de que cada cuasi-proyectiva, la variedad es compacta, con la topología de Zariski - recuerdo haber demostrado que para casi afín variedades, pero la misma prueba no funciona para casi variedades proyectivas. Es cada cuasi-proyectiva variedad compacta?

Answer 1

Un espacio topológico $X$ se llama cuasi-compacto si cada abierto que cubre de $X$ tiene un número finito de subcovering.
(Esta es la terminología adoptada por algebraica de los geómetras destacar que Hausdorffness no es necesario. Espacios compactos son entonces Hausdorff cuasi-espacios compactos).

Un espacio topológico $X$ se dice que noetherian si todos los no-vacío familia de subespacios cerrados tiene un mínimo elemento.
Por ejemplo, $\mathbb A^n_k$ $\mathbb P^n_k$ son noetherian: esto se desprende de Hilbert teorema de que el polinomio anillo de $k[T_i,...,T_n]$ es noetherian .
Los siguientes son entonces equivalente para un espacio topológico $X$:
$\bullet$ $X$ es noetherian.
$\bullet$ Cada subconjunto de $X$ es cuasi-compacto.

Desde el espacio proyectivo $\mathbb P^n_k$ sobre un campo es noetherian , cuasi-proyectiva variedad es cuasi-compacto, ya que por definición es la intersección de una abierta y una cerrada subconjunto de algunos $\mathbb P^n_k$, y cualquier subconjunto de a $\mathbb P^n_k$ es cuasi-compacto por noetherianity de $\mathbb P^n_k$.

En resumen:
Cada cuasi-proyectiva variedad es cuasi-compacto.

Edit: como se destacó por Pete, incluso un subconjunto arbitrario de un cuasi-proyectiva variedad es cuasi-compacto, ya que también es un subconjunto de a $\mathbb P^n_k$.

Answer 2

Un subespacio cerrado $A$ de un espacio compacto $X$ es compacto.

Prueba (Perdón por mi terriblemente descuidado indexación): abra la cubierta $\{U_\alpha \cap A\}_{\alpha}$ $A$ donde cada una de las $U_\alpha$ está abierto en $X$. A continuación, $\{U_\alpha\}_{\alpha} \cup \{X \setminus A\}$ es una cubierta abierta de a $X$, que tiene un número finito de subcover. El $U_\alpha$ en este finito subcover necesariamente a $A$. Así que un número finito de $\beta$ puede ser elegido tal que el conjunto de las $U_\beta \cap A$ cubierta $A$.

Answer 3

Un espacio tal que todos sus subespacios compactos, es hereditariamente compacto. Esta propiedad resulta ser implícita por ser Noetherian, que se aplica en particular a los espacios proyectivos $\mathbb{P}^n$.

Answer 4

Cada cerrados subespacio de un compacto Hausdorff espacio es compacto. No estoy realmente seguro de si eso se aplica a los espacios de Hausdorff, probablemente utilizado para saber.

Pero $[0,1]$ es compacto, y $(0,1)$ es un no-compacto subespacio.

Si lo que usted propone fuera cierto, entonces uno no debería hablar de "compactifications". Un compactification de un espacio topológico $X$ es un espacio de $Y$ tal que $X\subseteq Y$ y el cierre de $X$ $Y$ es, precisamente,$Y$. Por ejemplo, si uno se adhiere a un solo punto de $\infty$ a la línea real $\mathbb{R}$ en forma tal que un abrir barrio de $\infty$ es cualquier conjunto de la forma $$\{\infty\}\cup \{x\in\mathbb{R} : x > a\}\cup \{x\in\mathbb{R} : x < b\},$$ entonces ese es el "punto de compactification" de $\mathbb{R}$. La línea también tiene dos puntos de compacification. Se puede demostrar que no tiene tres puntos compactification, pero tiene algunos mucho más grandes compactifications con una infinidad de puntos.

Answer 5

Usted seguramente puede responder a esto por sí mismo! Es una cuestión de considerar ejemplos.

Digamos que usted comience con el primer espacio topológico se presentó: el espacio de los números reales. No es compacto, pero tiene un montón de subespacios compactos, y de hecho podemos describirlas todas. Elija uno y mirar sus subespacios ahora...