Solucionar $abc+bcd+cda+dab=abcd+3$ en el conjunto de los enteros positivos.
He probado este - reordenando obtenemos $bcd-3=abcd-abc-abd-acd=a(bcd-bc-bd-cd)$ por lo tanto $bcd-3$ es divisible por $a$. Del mismo modo, conseguimos que los $cda-3$ es divisible por $b$, $dab-3$ es divisible por $c$ y $abc-3$ es divisible por $c$. ¿Qué debo hacer con esta información? ¿Cómo puedo ir?
Primero de todo, tenga en cuenta (como mencioné en un comentario) que si más de uno de $a,b,c,d$ es aún, todos los términos en el lado izquierdo será aún (ya que cada uno omite un solo término), pero la RHS será raro (se $3$, además de un número par), por lo que no puede ser igual.
A continuación, dividir ambos lados por $abcd$: este rendimientos $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d=1+\dfrac3{abcd}$. Puesto que la ecuación es claramente simétrica en sus variables, podemos asumir WLOG que $a\leq b\leq c\leq d$. La primera y más importante a tener en cuenta es que debemos tener $\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d\gt 1$; esto implica algunos límites. Por ejemplo, $a\lt 4$, porque de lo contrario la suma en el lado izquierdo está acotada arriba por $\frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1$. Vamos a llegar límites en el resto de los valores en un caso por la base del caso a continuación.
En primer lugar, si $a=1$, entonces tenemos la ecuación de $\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d = \dfrac3{bcd}$ o $cd+db+bc=3$; resolver en términos de $b$ rendimientos $b=\dfrac{3-cd}{c+d}$, lo que implica inmediatamente $c,d\leq 2$, y "por inspección" la única solución en los números enteros resulta ser $b=c=d=1$.
A continuación, si $a=2$, entonces no podemos tener $b=2$ o $b=4$ (ya que sólo puede haber un número par entre $a,b,c,d$), y si $b\geq 7$$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d\leq\dfrac12+\dfrac17+\dfrac17+\dfrac17\lt 1$; esto implica $b=3$ o $b=5$. Considere la posibilidad de la $b=3$ caso primero; luego la ecuación original se convierte en $\dfrac12+\dfrac13+\dfrac1c+\dfrac1d=1+\dfrac1{2cd}$ o $\dfrac1c+\dfrac1d=\dfrac16+\dfrac1{2cd}$ o $6(c+d)=cd+3$. A partir de la segunda de estas debemos tener $c\leq 12$ (elsewise $\displaystyle\frac1c+\frac1d\leq\frac16$); a partir de la tercera llegamos $\displaystyle d=\frac{6c-3}{c-6}$. Esto implica que $c=5$ no trabaja (desde $d$ sería negativo); $c=7$ rendimientos $d=39$, $c=9$ rendimientos $d=17$; y $c=11$ rendimientos $d=\frac{63}5$ (que no es una solución, ya que $d$ debe ser integral).
En el $a=2,b=5$ de los casos, debemos tener $c=5$ porque $\dfrac12+\dfrac15+\dfrac17+\dfrac17\lt 1$; pero ahora, considere la ecuación original $abc+bcd+cda+dab=abcd+3$. Con $b=c=5$ LHS debe ser divisible por $5$ ya que cada término es, pero la CARTA no puede ser debido a que $abcd$ es un múltiplo de a $5$ $3$ no es, por lo $abcd+3$ no.
Ahora, si $a=3$, entonces podemos tener $b=3$ o $b=4$; $b=5$ está descartada ya que $\dfrac13+\dfrac15+\dfrac15+\dfrac15\lt1$. $a=3,b=3$ los rendimientos de la ecuación de $\dfrac1c+\dfrac1d=\dfrac13+\dfrac1{3cd}$ o $3(c+d)=cd+1$; de manera similar a la de arriba esta rendimientos $c\lt 6$$d=\dfrac{3c-1}{c-3}$, dando $\{c=4, d=11\}$ $\{c=5, d=7\}$ soluciones.
Finalmente, podemos eliminar el caso de $a=3,b=4$: necesitaríamos $c,d\geq 5$$\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c+\dfrac1d\leq \dfrac13+\dfrac14+\dfrac15+\dfrac15\lt 1$.
Poniendo todo esto junto, podemos obtener el conjunto completo de soluciones como Se Jagy encuentra en su respuesta: $\{1,1,1,1\}$, $\{2,3,7,39\}$, $\{2,3,9,17\}$, $\{3,3,4,11\}$, y $\{3,3,5,7\}$.
Por cierto, similar a un "Egipcio fracción" ecuaciones y argumentos surgir en la clasificación de los mosaicos de las superficies regulares (el plano, esfera y plano hiperbólico); ver, por ejemplo, https://johncarlosbaez.wordpress.com/2012/02/05/archimedean-tilings-and-egyptian-fractions/ para una buena discusión de este.
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