Infinito norma cociente

Question

Deje $V = \mathbb{R}^n$ canónica de la $n$ dimensiones reales de espacio vectorial. Nos dotar $V$ con el infinito norma define como $\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$ para cualquier vector $x = (x_1, \dots, x_n) \in V$.

Vamos, a continuación, $V'$ ser una estricta subespacio de $V$. Se puede considerar el cociente $$V/V'$ $ , que es, naturalmente, la normativa por el cociente de la norma: $$ \| x + V' \|_\infty = \inf_{v\in V'} \|x-v\|_\infty.$$

Es allí una manera conveniente para calcular de forma genérica esta norma o, al menos, (no trivial) límites ?

En el $\ell_2$ norma caso, esto reduce fácilmente para el cálculo de la proyección ortogonal de a $x$ sobre el espacio $V'$, la cual puede ser realizada por Gram-Schmidt orthogonalisation.

Answer 1

La unidad de la bola en el infinito-la norma es un zonotope, la suma de Minkowski de varios segmentos de línea. El zonotope estructura se conserva bajo lineal mapa, en particular, de conformidad con el cociente mapa. Por lo tanto, la unidad de la bola del cociente el espacio es también un zonotope.

Lo contrario también es cierto: cada zonotope es una proyección de un cubo, por lo que cada normativa espacio en el que la unidad de bola es un zonotope es isométricamente isomorfo a un cociente de $(\mathbb{R}^n, \ell_\infty)$ para suficientemente grande $n$.

En términos prácticos, esto permite una descripción explícita de la unidad de la bola de $V/V'$. Elegir algún subespacio $W\subset V$ que es un complemento de $V'$; la distancia Euclídea-complemento ortogonal es una elección natural. Para cada una de las $k=1,\dots, n$, vamos a $p_k$ ser la proyección de la $k$th estándar de la base de vectores de $V$ a $W$ a lo largo de $V'$ (por lo tanto, si $W\perp V'$, esta es la proyección ortogonal). A continuación, la unidad de la bola de $V/V'$, representado por $W$, es la suma de Minkowski de segmentos de línea en $[-p_k, p_k]$, que es $$ B = \left\{\sum_{k=1}^n c_k p_k : -1\le c_k\le 1\right\} $$ Para un hormigón $V'$, uno puede ser capaz de captar la geometría de $B$, y, a continuación, la descripción de la norma de la siguiente manera.

Formalmente, para $x\in W$ el cociente de la norma es $$ \|x\| = \inf\left\{\max|c_k| : x = \sum_{k=1}^n c_k p_k\right\} $$ donde el infimum se toma sobre tales representaciones; sin embargo esto no es realmente diferente de la definición.