Si $P$ es un polinomio con $P(3)=10$ y $P(1)=1$ entonces ¿por qué no pueden todos los coeficientes de $P$ ¿son números enteros?

Question

Si $P$ es un polinomio con $P(3)=10$ y $P(1)=1$ entonces ¿por qué no pueden todos los coeficientes de $P$ ¿son números enteros?

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Esta pregunta fue eliminada por falta de detalles hace medio año, por lo tanto los estoy proporcionando. En esta pregunta en concreto, estoy pidiendo su ayuda para resolver este problema en 8 º grado manera, porque estoy seguro de que esta pregunta podría ayudar a otros estudiantes a entender los polinomios mucho mejor, sin ningún conocimiento superior, de nivel universitario (algunas respuestas proporcionadas allí son muy elegante y comprensible incluso para un 6 º grado).

Por mencionar algo más, ahora mismo sería bastante hipócrita decir que 'he intentado < insertar cualquier teorema > pero me he atascado, por eso te pido ayuda'. Así que no lo estoy diciendo ahora, en lugar de eso simplemente pidiendo para que usted undelete esta pregunta por las razones que he mencionado anteriormente.

Gracias.

Answer 1

Si los coeficientes de $P$ son todos números enteros, entonces $P(odd)=odd$ (es decir, el valor de $P$ en un número entero impar es impar) si y sólo si un número impar de coeficientes son impar. Por tanto, si $P(1)=1$ debe haber un número impar de coeficientes impar, pero si $P(3)=10$ debe haber un número par de coeficientes impar. Esto es una contradicción, por lo que los coeficientes no pueden ser todos enteros.

Answer 2

Si $p(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros, entonces para todos los enteros $a,b$ tienes $$a-b\mid p(a)-p(b)$$

En particular $$3-1\mid p(3)-p(1) = 9$$

Una contradicción.

Answer 3

Supongamos que todos los coeficientes de $P$ son números enteros. Entonces $Q(x) := P(x+1)-1$ también es un polinomio con coeficientes enteros (basta con expandir y simplificar). Tenemos $$Q(0) = P(1)-1 = 0,$$ es decir, el coeficiente de grado cero de $Q$ es $0$ Así que $Q(x)/x$ es también un polinomio con coeficientes enteros. En particular, esto implica que $Q(2)/2$ debe ser un número entero. Pero $$\frac{Q(2)}{2} = \frac{P(3)-1}{2} = \frac{10-1}{2} = \frac{9}{2}.$$ Contradicción.