¿Por qué es divergente esta suma telescópica?

Question

Estoy tratando de averiguar si

$$\sum_{x = 1}^{\infty}\ln\bigg(\frac{x}{x+1}\bigg)$$

converge o diverge.

Esto es lo que he intentado hacer:

\begin {align} \sum_ {x = 1}^{ \infty } \ln\bigg ( \frac {x}{x+1} \bigg ) &= \sum_ {x = 1}^{ \infty } \ln (x)- \ln (x+1) \\ &= \sum_ {x = 1}^{ \infty } \ln (x) - \sum_ {x = 1}^{ \infty } \ln (x+1) \\ &=( \ln (1) + \ln (2) + \cdots )-( \ln (2)+ \ln (3) + \cdots ) \\ &= \ln (1) \end {align}

Así que pensé que la serie convergería a $\ln(1) = 0$ ya que todos los demás términos se cancelan. Lo he comprobado con WolframAlpha y la serie es realmente divergente. Me preguntaba por qué es así y qué es lo que falla en mi trabajo anterior.

Answer 1

Su intento es incorrecto en este paso: $$ \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x)-\ln(x+1) \color{red}{\overset{?}{=}} \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x) - \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x+1) $$ En este paso, has reordenado los términos de la serie para obtener dos nuevas series. En general, esto no es posible; véase, por ejemplo, el Teorema de reordenación de Riemann . Usted comete otro error cuando escribe $$ \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x) - \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x+1) = (\ln(1) + \ln(2) + \cdots)-(\ln(2)+\ln(3) + \cdots) \color{red}{\overset{?}{=}} \ln(1). $$ Esto sólo tiene sentido si las dos series convergen. Por desgracia, ninguna de las dos series converge (la serie $ \sum_{n=1}^{\infty} \ln(n)$ diverge al infinito), y su suma de series se ve como $$ \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x) - \sum_{x = 1}^{\infty}\ln(x+1) "=" \infty-\infty, $$ que es una forma indeterminada. Es decir, la expresión $\infty-\infty$ no está bien definido, y puede tomar cualquier valor, dependiendo de la construcción subyacente.

Recordemos la definición de serie convergente:

Decimos que $$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S $$ para un número finito de $S$ (es decir, la serie converge a un valor finito $S$ ) si y sólo si la secuencia de sumas parciales converge a $S$ . Es decir, con $$ S_N := \sum_{n=1}^{N} a_n, $$ tenemos $\lim_{N\to\infty} S_N = S$ .

Por lo tanto, debemos razonar de la siguiente manera: \begin {align} \sum_ {x=1}^{ \infty } \ln (x)- \ln (x+1) &= \lim_ {N \to\infty } \sum_ {x=1}^{N} \ln (x) - \ln (x+1) \\ &= \lim_ {N \to\infty } \left [ ( \ln (1) - \ln (2)) + ( \ln (2)- \ln (3)) + \dotsb ( \ln (N) - \ln (N+1)) \right ] \\ &= \lim_ {N \to\infty } \left [ \ln (1) + (- \ln (2) + \ln (2) + \dotsb (- \ln (N) + \ln (N)) - \ln (N+1) \right ] \\ &= \lim_ {N \to\infty } \left [ 0 + 0 + \dotsb + 0 - \ln (N+1) \right ] \\ &= \lim_ {N \to\infty } \left [ - \ln (N+1) \right ] \\ &= - \infty. \end {align} El punto importante aquí es que estamos examinando cuidadosamente la serie como un límite de sumas parciales. Al hacerlo, sólo estamos usando la asociatividad de la suma para obtener el resultado, y luego tomando un límite después de hemos determinado la forma general del $N$ -ésima suma parcial. Cuando hacemos esto, no perdemos el "extra" $\log(N+1)$ al final de la serie, que se pierde en su formulación.

Answer 2

Tenga en cuenta que

$$\sum_{x=1}^X \log(x)-\log(x+1)=\log(1)-\log(X+1)$$

La divergencia logarítmica no debería sorprender en la medida en que

$$\log\left(\frac{x}{x+1}\right)=-\log\left(1+\frac1x\right)\le -\frac{1}{x+1}$$

y la serie armónica diverge logarítmicamente.