No estoy completamente seguro de que esto sea lo que buscas, pero después de jugar un poco con la desigualdad sugerida, creo que he encontrado una forma combinatoria de pensar en ello. De hecho, vamos a demostrar la siguiente desigualdad de la que la desigualdad que nos interesa es un caso especial (de hecho, son equivalentes):
La desigualdad. Dejemos que $m,n\in\mathbb{N}$ y que $k_1,k_2,\cdots k_n\in\mathbb{N}$ (sí, es el mismo $n$ ) sean números naturales tales que $k_1+k_2+\cdots+k_n=mn$ . Entonces se cumple la siguiente desigualdad: $$m^n \geq k_1k_2\cdots k_n\qquad(*)$$
(Tomando $m=x_1+x_2+\cdots+x_n$ y $k_i = nx_i$ produce la desigualdad en la pregunta).
Procederemos a construir una secuencia de inyecciones. El siguiente lema es fácil de ver. (Es básicamente la interpretación combinatoria de la desigualdad $k l\leq (k+1)(l-1)$ que es válida para los números naturales $k<l$ .)
Lema. Dejemos que $k,l\in\mathbb{N}$ sean números tales que $k<l$ . Sea $A,B$ sean conjuntos tales que $|A|=k$ y $|B|=l$ y que $b\in B$ . Luego hay una inyección $\phi:A\times B\to (A\cup\lbrace b\rbrace)\times(B\setminus\lbrace b\rbrace)$ .
Prueba. Desde $k<l$ tenemos $k\leq l-1$ lo que significa que hay una inyección $\psi:A\to B\setminus\lbrace b\rbrace$ por lo que podemos definir $\phi$ por $$\phi(x,y)=\begin{cases}(x,y);&\textrm{if }y\neq b,\\(b,\psi(x));&\textrm{if }y=b.\end{cases}$$ Es sencillo comprobar que se trata efectivamente de una inyección, así que hemos terminado.
De este lema obtenemos la siguiente proposición, que es la desigualdad $(*)$ interpretado combinatoriamente.
Propuesta. Dejemos que $m,n\in\mathbb{N}$ y que $A_1,A_2,\cdots,A_n$ sean conjuntos finitos disjuntos tales que $\sum_{i=1}^n|A_n|=nm$ . Sea $B$ sea un conjunto tal que $|B|=m$ . Luego hay una inyección $\phi:A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\to B^n$ . ( $B^n$ denota $n$ -tuplas de elementos de $B$ como siempre).
Prueba. Si $|A_i|=m$ para cada $i$ no hay mucho que probar. Por lo demás, hay índices $i_1$ y $i_2$ tal que $|A_{i_1}|<m$ y $|A_{i_2}|>m$ . Ahora elija algunos $c\in A_{i_2}$ y definir una nueva partición de $\bigcup_{i=1}^n A_i$ de la siguiente manera: $A_i^{(1)} = A_i$ para $i\neq i_1,i\neq i_2$ y $A_{i_2}^{(1)}=A_{i_2}\setminus\lbrace c\rbrace$ , $A_{i_1}^{(1)}=A_{i_1}\cup\lbrace c\rbrace$ . El lema anterior nos permite construir una inyección $\phi_1:A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\to A_1^{(1)}\times A_2^{(1)}\times\cdots\times A_n^{(1)}$ .
Si ahora $|A_i^{(1)}|=m$ para cada $i$ hemos terminado, de lo contrario, repite el mismo procedimiento, para obtener una partición $(A_{i}^{(2)})_i$ y una inyección $\phi_2:A_1^{(1)}\times A_2^{(1)}\times\cdots\times A_n^{(1)}\to A_1^{(2)}\times A_2^{(2)}\times\cdots\times A_n^{(2)}$ .
El procedimiento terminará después de un número finito de pasos, ya que en cada paso $j$ la suma $\sum_{i=1}^{n}|k_i^{(j)}-m|$ disminuye por lo que eventualmente llegará a cero en algún paso $r$ . (Aquí definimos $k_i^{(j)}=|A_i^{(j)}|$ .) Pero esto implica $k_i^{(r)} = m$ para cada $i$ Así que $|A_i^{(r)}|=|B|$ para cada $i$ por lo que existe una biyección $\psi:A_1^{(r)}\times A_2^{(r)}\times\cdots\times A_n^{(r)}\to B^n$ .
Esto significa que hemos encontrado una secuencia de inyecciones: $$A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\overset{\phi_1}{\to}A_1^{(1)}\times A_2^{(1)}\times\cdots\times A_n^{(1)}\overset{\phi_2}{\to}\cdots\overset{\phi_r}{\to}A_1^{(r)}\times A_2^{(r)}\times\cdots\times A_n^{(r)}\overset{\psi}{\to}B^n$$ y la prueba está completa.
Conclusión. Hemos construido una secuencia de inyecciones que demuestra $(*)$ demostrando así la desigualdad A-G de forma combinatoria. El sentido combinatorio de la prueba es básicamente algo así: supongamos que tenemos un conjunto $A$ y lo dividimos en $n$ partes no vacías. Entonces el número de formas de elegir un solo elemento de cada conjunto de la partición será el mayor cuando la partición sea en conjuntos de igual tamaño.
