La intuición sobre la varianza de la combinación lineal de las variables

Question

Tengo las fórmulas de la varianza de los lineales combintion de variables en $$ \text{Var}\Bigl(\,\sum_{i=1}^n X_i\,\Bigr)= \sum_{i=1}^n\text{Var}( X_i)+ 2\sum_{i< j} \text{Cov}(X_i,X_j). $$ Sé que esto es derivado de la varianza de 2 variables y la extrapolación. Sin embargo, ¿qué es la intuición detrás de esta fórmula? Alguien puede explicar un poco más sobre cómo podría utilizar esta fórmula para entender la covarianza mejor?

Answer 1

Otras respuestas han abordado la derivación, pero usted pidió la intuición:

La varianza es una medida de la incertidumbre. La mayor es la varianza mayor será la incertidumbre. La incertidumbre es aditivo. Si $X_1$ $X_2$ no están correlacionados, la incertidumbre en su suma es la suma de sus incertidumbres: $Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2)$. Pero lo que si se correlacionan? Pueden pasar dos cosas. Si están positivamente correlacionados esto va a aumentar la incertidumbre, ya que esto hace más probable que las observaciones de las dos variables que se alejan de los medios en la misma dirección, tirando de la suma aún más lejos de su media. Por otro lado, si están negativamente correlacionados, tienden a tirar en direcciones opuestas con mayor que el promedio de las observaciones de una variable que tiende a ser compensado por menores que el promedio de las observaciones de los otros. Esto llevará a la cancelación de los errores mediante el cual la suma será aún más cerca de su promedio de cualquiera de las variables que están cerca de ellos. La covarianza plazo $Cov(X_1,X_2)$ muestra cómo la correlación entre las variables de los efectos de la incertidumbre global. Similar intuiciones sostener con más de 2 variables. Cada par de variables $X_i,X_j$ puede aumentar o disminuir la incertidumbre global de la suma. Mediante la adición de todos estos covarianzas juntos obtendrá el cambio neto de la incertidumbre de todos los pares.

Las intuiciones no son teoremas. El párrafo anterior no se aplica a todos los casos. Por ejemplo, una manera de que usted podría tener $Cov(X_1,X_2) > 0$ es por tener un gran número de valores negativos a ser compensado por más raro, pero más grande, de valores positivos. $X_1$ $X_2$ podría, en realidad, tienden a tirar en direcciones opuestas en el sentido de que $P((X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2) < 0) > 0.5$ pero, sin embargo, $Cov(X_1,X_2) > 0$ desde cuando se tiran en la misma dirección que realmente tirar en la misma dirección. La fórmula en sí toma todo en cuenta esas consideraciones.

Answer 2

Esta fórmula es, en realidad, no en todos profunda y funciona si reemplazar $\mathrm{Cov}$ con cualquier bilineal simétrica forma. Imaginemos que tenemos un producto interior $(-,-)$ y queremos averiguar $(a+b,a+b)$. Entonces $$(a+b,a+b)=(a,a)+(b,b)+(a,b)+(b,a)=(a,a)+(b,b)+2(a,b)$$ Usted puede encontrar una fórmula similar para $(a+b+c,a+b+c)$, y la forma general es exactamente el mismo. Sólo depende de la covarianza de ser simétrica y bilineal y la varianza de una variable se la covarianza con la misma.

Answer 3

Es muy simple. Es justo como la apertura de los soportes en un $(a+b)^2$. En ese caso, tendrás $a^2+2ab+b^2$.

Ojalá que puede guiar a usted para averiguar cómo se derivan. Déjeme saber si usted necesita una explicación en profundidad, aunque.

Answer 4

Si utiliza las fórmulas $$\text{Var}(X) = E[X^2]-E[X]^2$$ and $$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$$

utilizando las propiedades del valor esperado se puede derivar la fórmula fácilmente.

También podría ayudar a ver a la varianza como un caso especial de la covarianza:

$$\text{Var}(X) = \text{Cov}(X,X)$$ so we see $\texto{Var}(X_i)$ is a simplified form of $\text{Cov}(X_i,X_i)$, la coincidencia de la covarianza de la suma.