Es bien sabido que si tenemos un "estándar" suave colector (es decir, Hausdorff y la segunda contables, y por lo tanto paracompact), $TM$ es isomorfo a $T^*M$. El argumento habitual sigue teniendo una métrica de Riemann y el uso de los musicales isomorfismo fibrewise.
¿Qué pasa si el colector no está paracompact? Hay un ejemplo de $M$ de manera tal que los paquetes no son isomorfos? (El habitual argumento se cae por aquí).
El largo de la línea es un "colector" (pero no de segunda contables), que no admite una métrica de Riemann. Hay liso estructuras en esta cosa, de ahí que (dada una suave estructura) una noción de tangente paquete y la cotangente del paquete. Estos son extraños:
El largo de la línea es unidimensional, y un isomorfismo $\phi:TL\rightarrow T^*L$ sería, por tanto, inducir a una métrica de Riemann a través de la fórmula de $g(X,Y)=\pm\phi(X)(Y)$ (se necesita el signo menos si $\phi_p(X_p)(X_p)<0$, por lo tanto, todos, que no sea cero $X_p$). Ya no métrico de Riemann existe, no hay tal isomorfismo puede existir.
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