Aunque no lo parezca a primera vista, este problema es realmente válido. En particular, su afirmación de que "el área de la sección transversal de un haz paralelo de luz es invariante Lorentz" es realmente correcto, en el que un haz de luz paralelo tiene de hecho una de Lorentz-invariante de la sección transversal. Y en cualquier sistema inercial de referencia, la sección transversal de los involucrados es de hecho un simple puramente spacelike de la sección transversal. Y en cualquier sistema inercial de referencia, la sección transversal de los implicados es ortogonal, en un espacio común-como el sentido, la dirección en que viaja la luz.
El párrafo anterior requiere de más elaboración, o el párrafo se corre el riesgo de que, también, lo que parece ser el mal a primera vista. Pero primero, voy a aclarar un par de métodos de representación de los problemas en la declaración del problema que tienen el potencial de causar confusión:
En la convención Padmanabhan, romano índices incluyen todas las cuatro dimensiones de la $0$ a través de $3$, en lugar de roman índices referidos sólo a las dimensiones de $1$ a través de$3$, ya que en algunos convenios. I. e., las sugerencias puramente lidiar con cuatro vectores, y siempre de acuerdo con los cuatro componentes de los cuatro vectores. También, aunque de una transformación de Lorentz juega un papel central en este problema, las sugerencias siempre sólo el uso de un sistema de coordenadas. O como una alternativa a los anteriormente enunciados, se trabaja a la vista de la declaración del problema como el uso de resumen índice noción.
El uso de números primos en $a'^i$ $b'^i$ puede parecer que contradice la afirmación anterior acerca de las sugerencias nunca el uso de imprimación componentes, pero no es así. Los números primos en $a'^i$ $b'^i$ no indican el uso de un "cebado" cuadro de coordenadas, pero no en la forma en que uno podría pensar. $a'^i$ sí no indicar el cebado de los componentes de la cuatro-vector cuyos componentes son de primera calidad $a^i$. $a^i$ y $a'^i$ son dos geométricamente diferentes de cuatro vectores. $a^i$ es básicamente un vector de desplazamiento que recorre el borde de un cuadrado que es ortogonal a $k^i$, y es puramente espacial en la imprimado marco. $a'^i$ es el correspondiente vector de desplazamiento en la proyección, a lo largo de líneas paralelas a $k^i$, de que el original de la plaza sobre una superficie que también es ortogonal a $k^i$, sino que es puramente espacial en el marco de cebado. De igual manera, con $b^i$$b'^i$.
Lo que es probablemente la mayor fuente potencial de confusión en este problema, sin embargo, no es una cuestión de notación, sino más bien un problema conceptual acerca de la naturaleza de la sección transversal. Fui cuidadoso en mi primer párrafo para decir que el haz de luz "... tienen un Lorentz-invariante de la sección transversal", en lugar de decir que la sección transversal es de Lorentz-invariante, porque hay dos diferentes "natural" de las maneras en que se podría definir ortogonal de la sección transversal de un haz de luz paralelo. En un marco inercial de referencia en la que el haz es estacionaria, las dos definiciones son equivalentes, pero en un marco de referencia en el que la viga está en movimiento, la diferencia entre las dos definiciones es crucial.
Considere primero la viga en un marco inercial en la que el haz es inmóvil, y pensar en cómo se podría ir sobre la definición de una ortogonal de la sección transversal de la viga, sólo en un sentido tridimensional. Una forma sería la de considerar el conjunto de todos los lugares donde la viga existe en algún instante dado, y luego considerar un vector tangente de la fuente de luz a su destino a lo largo de la superficie de ese conjunto de ubicaciones. Ortogonal de la sección transversal puede ser definida como la intersección de la viga con un plano que pasa a través de algún punto dado, y es ortogonal a que el vector tangente.
Pero otra forma de definir el ortogonal de la sección transversal sería considerar el vector de velocidad de un fotón en el haz, y, a continuación, definir el ortogonal sección transversal como la intersección de la viga con un plano que pasa a través de algún punto dado, y es ortogonal al vector velocidad.
La tangente de tres vector y la velocidad de tres vector utilizado anteriormente son paralelas, y puede ser considerado para ser el mismo de tres vectores si son de tamaño adecuado. Sin embargo, los dos de tres vectores son realmente los componentes espaciales de un par de cuatro vectores, y los dos de cuatro vectores de transformar de manera diferente en virtud de un impulso. Los cuatro-vector que corresponde a la tangente de tres vectores es puramente espacial cuatro-vector, es decir, es un cuatro-vector cuya componente de tiempo en el marco inercial en cuestión es cero. Pero la cuatro-vector que corresponde a un fotón de velocidad de tres vectores es un vector nulo, con un valor distinto de cero componente de tiempo. Si usted transformar el dos de cuatro vectores por un Lorentz impulso a otro sistema inercial, y luego tomar las componentes espaciales de las transformadas de cuatro vectores, obtendrá dos diferentes de tres vectores en el otro sistema inercial. Todo lo anterior es realmente señalando es que si un haz de luz que se mueve, la velocidad de los fotones en el que la viga no será paralelo a la viga de la superficie en un instante dado.
En la de arriba, la sección transversal se define considerando la viga del vector tangente hecho de someterse a una contracción de longitud en virtud de un impulso. Es sólo la sección transversal definida en base a la luz del vector de velocidad de la que tiene un invariante de la zona.
Como para el punto de la confusión, el uso de $u^i$ e informática $\alpha$ $\beta$ no es realmente un arenque rojo. Todas las expresiones de utilizar los componentes expresados en el imprimado marco. Para asegurarse de que $a'^ia'_i$=$a^ia_i$ se mantendrá en el marco de cebado, usted necesita para asegurarse de que $\alpha$ $\beta$ son de Lorentz escalares. Como ya hemos descubierto, resulta que no llegas realmente a necesitar los valores reales de a$\alpha$$\beta$, todo lo que importa es sólo que son de Lorentz escalares. Y si usted determinar $\alpha$$\beta$, como por los consejos, verás que son de hecho Lorentz escalares.
