¿Por qué se $i$ $-i$ "más indistinguibles" de $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$?

Question

Hoy he aprendido que dos raíces de un polinomio irreducible son "algebraicamente indistinguibles."

En $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, definir el conjugado de a$a+b\sqrt{2}$$\overline{a+b\sqrt{2}} = a - b\sqrt{2}$.

Mi comprensión y la intuición en "algebraicamente indistinguible" es que si $P$ $Q$ son expresiones algebraicas (significado de usar el anillo de operaciones) $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ con $P$ = $Q$, luego también tenemos a $\overline{P} = \overline{Q}$ donde $\overline{P}$ $\overline{Q}$ son las expresiones algebraicas $P$ $Q$ a excepción de todos los miembros de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ en la expresión se reemplaza con su conjugado.

Por ejemplo,

$2(3+\sqrt{2})(4+\sqrt{2}) - (6-\sqrt{2}) = 22 + 15\sqrt{2}$

y, de hecho,

$2(3-\sqrt{2})(4-\sqrt{2}) - (6+\sqrt{2}) = 22 - 15\sqrt{2}$.

Y en $\mathbb{R}(i) = \mathbb{C}$, estamos garantiza el mismo fenómeno:

$2(3+i)(4+i) - (6-i) = 16 + 15i$

$2(3-i)(4-i) - (6+i) = 16 - 15i$

Pero lo que me parece interesante es que una vez que involucrar a los familiares de las operaciones fuera de la multiplicación y la suma, esto ya no serán para $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, pero todavía tiene para $\mathbb{R}(i) = \mathbb{C}$.

Por ejemplo, $(-\sqrt{2})^{-\sqrt{2}} \neq \overline{\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}$ mientras que por otro lado,$(-i)^{-i} = \overline{i^{i}}$.

Mi primera respuesta a esto es que la exponenciación visto como una operación binaria es que no se cierra en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, por lo que deben ver esto como una operación en $\mathbb{R}(i) = \mathbb{C}$, pero este es un campo más amplio que se extiende $\mathbb{Q}$ para incluir a las raíces de $x^{2}-2$, por lo que en este campo con la exponenciación, ahora puedo distinguir $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$. Por otro lado, la exponenciación en $\mathbb{R}(i) = \mathbb{C}$ es cerrado, por lo que incluso exponenciación no nos permite de manera algebraica distinguir entre el$a+bi$$a-bi$.

Answer 1

Esta es una buena pregunta!$\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}$

Mi primera respuesta: Vamos a dar una definición de lo que significa para dos elementos de un campo algebraicamente indistinguibles a través de una base de campo. Deje $K/L$ ser una extensión de campo, y deje $\alpha,\beta \in K$. Decimos $\alpha$ $\beta$ son algebraicamente indistinguibles en $K$ $L$ si hay un automorphism de $K$ más de $L$, $\phi$, tal que $\phi(\alpha)=\beta$. (Desde cualquier automorphism de un campo corrige la característica de subcampo, vamos a decir que $\alpha$ $\beta$ son algebraicamente indistinguibles en $K$ si son algebraicamente indistinguible más de la característica de subcampo. Desde nuestro campo base es $\QQ$, que es la característica de subcampo, vamos, por consiguiente caída de la "$\QQ$ " del lenguaje).

¿Qué significa esto? También significa que para cualquier polinomio de expresión en $\alpha$ con coeficientes en $L$, decir $p(\alpha)$,$\phi(p(\alpha))=p(\phi(\alpha))$.

Ahora ya $\QQ(\sqrt{2})$ tiene un automorphism (conjugación) $\QQ$ que envía a $\sqrt{2}$ a $-\sqrt{2}$, $\sqrt{2}$ y $-\sqrt{2}$ son algebraicamente indistinguibles en $\QQ(\sqrt{2})$. Del mismo modo $\QQ(i)$ también tiene un automorphism el envío de $i$$-i$. Por lo $i$ $-i$ son algebraicamente indistinguibles en $\QQ(i)$.

Ahora lo que si empezamos a tomar más grandes campos? Se $i$ $-i$ todavía algebraicamente indistinguibles como elementos de $\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}\CC$? Sí! La conjugación es también un automorphism de $\CC$.

Cómo acerca de $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$? Son algebraicamente indistinguibles en $\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}\RR$? en $\CC$? La respuesta puede ser un poco extraño. Tenga en cuenta que $\sqrt{2}$ es real, y está implícita en nuestra notación es la suposición de que $\sqrt{2}$ es positivo, y que $-\sqrt{2}$ es negativo. Más de $\QQ(\sqrt{2})$, no podemos saber la diferencia entre lo positivo y lo negativo de la raíz cuadrada, pero con el $\RR$ podemos. Cada elemento positivo de $\RR$ tiene una raíz cuadrada en el campo, pero no el elemento negativo. Por lo tanto no puede ser una automorphism $\phi$ $\RR$ de los que tomaron $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$, ya que si tuviéramos $u^2=\sqrt{2}$, entonces tendríamos que tener $\phi(u)^2 = -\sqrt{2}$, lo cual es imposible. Así podemos distinguir entre ellos a lo largo de $\RR$.

Sin embargo, más de $\CC$, ahora tenemos todas las raíces cuadradas podríamos desear, y ya hay un automorphism de $\QQ(\sqrt{2})$ de los que tomaron $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$, esto puede ser extendido a un automorphism de $\CC$ de los que tomaron $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$a través de hechos generales acerca de la algebraicas cierres. Así que ahora en $\CC$ que una vez más, no puede distinguir $\QQ(\sqrt{2})$$\QQ(-\sqrt{2})$.

Mi segunda respuesta (o más bien una continuación): Pero espera! Estamos trabajando con $\RR$$\CC$! Tenemos una topología. Podemos hablar de otras operaciones que sólo finito de combinaciones de adición, multiplicación y división! Por lo que podemos definir una noción de topológicamente indistinguibles de los elementos. Supongamos que dos elementos de la $\alpha,\beta$ de un campo topológico $K$ de característica 0 son topológicamente indistinguibles si hay un continuo campo de automorphism $\phi : K\to K$ tal que $\phi(\alpha)=\beta$.

De esto podemos obtener expresiones como $\phi(e^\alpha)=e^{\phi(\alpha)} = e^\beta$. Más concretamente, sabemos que la conjugación de $\CC\to \CC$ es continua y $\bar{i}=-i$, por lo que por nuestra definición $i$ $-i$ son topológicamente indistinguibles. Por lo tanto para cualquier expresión definida en términos de límites, la adición y la multiplicación, $F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$, $$\overline{F(x_1,x_2,\ldots,x_n)} = F(\bar{x_1},\bar{x_2},\ldots,\bar{x_n}).$$ Así tenemos a $\overline{e^i} = e^{\bar{i}}$. Ahora hay una ligera complicación con el $i^i$ expresión, en ese $\log i$ no está muy bien definido. Sin embargo, para cualquier $w$ tal que $e^w = i$, $e^{\bar w} = \bar{i}$, así que para cualquier elección de $w$, $\overline{i^i} =\overline{e^{wi}}= e^{\overline{w}\overline{i}} =\bar{i}^{\bar{i}}$, donde las igualdades no son muy vagos, ya que $i^i$ no está exactamente bien definidos. El central de la igualdad es el punto principal.

Por lo $i$ $-i$ son topológicamente equivalentes, pero, ¿qué acerca de la $\sqrt{2}$$-\sqrt{2}$$\CC$?

Bien, para demostrar que $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ no puede ser topológicamente equivalente, sólo tenemos que encontrar una expresión que se construye fuera de los límites de sumas, productos y divisiones en que difieren. Un ejemplo es $$\lim_{n\to \infty} (x-1)^n.$$ Para el positivo de la raíz cuadrada de 2, esta expresión converge a 0, y para el negativo de la raíz cuadrada de 2 esta diverge. Por lo tanto no puede haber un continuo campo automorphism el envío de una a la otra, desde entonces, todas esas expresiones tienen que convergen en tanto $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ o divergen en ambos.

Por lo tanto $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ no son topológicamente indistinguibles.

Esta creo que es la fuente de lo que estás observando. Tanto en $\pm i$ $\pm\sqrt{2}$ son algebraicamente indistinguibles en $\CC$, pero $i$ $-i$ también son topológicamente indistinguibles en $\CC$, pero $\sqrt{2}$ $-\sqrt{2}$ no lo son.