La desigualdad de $\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$

Question

Vamos $a$, $b$ y $c$ ser no negativo números de tal manera que $(a+b)(a+c)(b+c)=8$. Probar que: $$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\geq\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$

Algunos intentos:

1. A partir de la condición de la siguiente manera $a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)^3 -24$

2. Es conocido (ver aquí) $$\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}$$

3. Configuración $2x=a+b$, $2y = b+c$, $2z = a+c$, podemos expresar $a =x+z-y$ etc. La condición se convierte entonces en $xyz = 1$ que puede ser parametrizado con variables libres $0\leq q \leq 2 \pi /3 $ y arbitraria $r$ por $$ x = \exp(r \cos q) \; ; \; y = \exp(r \cos (q + 2 \pi /3)) \; ; \; z = \exp(r \cos (q - 2 \pi /3)) $$ El uso de que, la condición puede ser eliminado y, a continuación, el cálculo puede ser utilizado.

4. La pregunta puede interpretarse geométricamente. Expresiones tales como $a^3+b^3+c^3 = $const. y $a^4+b^4+c^4 =$ const. puede ser interpretado como hypersurfaces de lo que se ha llamado N(3) dimensiones de la bola en p-norma, ver aquí. Una buena visualización se da en el aquí. A continuación, propiedades tales como la extrema, convexidad, etc. de estas superficies pueden ser utilizados.

No pude poner las piezas juntas.

Answer 1

Su pregunta es muy interesante y esta algo largo, respuesta y es sólo la reflexión que he hecho hasta ahora para este prof. Todavía hay mucho que falta para completar. Todavía me decidí a publicar de alguna manera.

Por cierto gracias por la amabilidad de todos ustedes en mi primer intento.

Algo que uno puede darse cuenta de que es la simetría de ambos lados de la desigualdad y de la iso de la superficie.

$$\frac{a^3+b^3+c^3}{3}$$ $$\sqrt{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$ $$(a+b)(b+c)(c+a)=8$$

Cuando se utiliza una geometría enfoque es fácil ver por la trama de la gráfica que la desigualdad es verdadera. Por que uno puede trazar la iso de la superficie, $(a+b)(b+c)(c+a)=8$, el uso de coordenadas polares, gris en este gráfico. A continuación, es posible utilizar la radio para demostrar la desigualdad, $a^i=r*a_\phi^i(\theta,\phi)$ donde $a^i= (a,b,c)$

$$r*a_\phi^i(\theta,\phi) = (r*a_\phi, r*b_\phi,r*c_\phi)$$

Por multiplicar cada radio de $r(\theta,\phi)$ de la iso de la superficie por $r_{\neq}$:

$$ r_{\neq}=\frac{a_\phi^3+b_\phi^3+c_\phi^3} {\sqrt{3(a_\phi^4+b_\phi^4+c_\phi^4)}} $$

Construimos una nueva iso de la superficie, de color rojo en este gráfico, y comparar allí radio. Si $r_{\neq}\geq 1$, entonces la desigualdad de verdad. Este es el caso.

Para probar que es más difícil, como usted sabe.

La simetría

Por el hecho de que $a,b,c$ puede ser de intercambio. La simetría se puede describir con 3 plano. Aquellos avión $s_a,s_b,s_c$ construir con el flujo del vector en el origen $(0,0,0)$: $\vec{1}_p=(1,1,1), \vec{1}_a=(0,1,1), \vec{1}_b=(1,0,1), \vec{1}_c=(1,1,0)$

con $s_a=(\vec{1}_p,\vec{1}_a), s_b=(\vec{1}_p,\vec{1}_b), s_a=(\vec{1}_p,\vec{1}_b)$ y la normal a cada plano es:

$$ \begin{align*} \vec{n}_a=(0,-1,1)\\ \vec{n}_b=(1,0,-1)\\ \vec{n}_c=(-1,1,0) \end{align*} $$

Así, el dominio puede ser restringido, sin perdida de generalidad a uno si el 6 simétrica $\mathbb{R}^3$ subconjunto uno puede obtener de:

$$\pm\vec{n}_i\cdot\vec{a} \geq 0$$

donde $\vec{a}=(a,b,c)$.

Los 6 simétrica $\mathbb{R}^3$ subconjunto y no hay límite de el se describen por cualquier permutación de $a,b,c$ de los:

$$ \begin{align} a \geq b\geq c\geq 0 \\ a = b\, \&\, a\geq c \\ b = c\, \&\, a\geq b \\ 1 \geq c \geq 0 \end{align} $$

Esta simetría de edad verdadera de la transformación donde el uso de $(a+b)=2x\dots$ y por lo tanto en cada uno de los 6 simétrica de la región de una permutación de $x,y,z$ de estas desigualdades son verdaderas en virtud de la simetría.

$$ \begin{align} 1 \geq y^2z \geq yz^2 \\ x^2z \geq 1 \geq xz^2 \\ x^2y \geq xy^2 \geq 1 \end{align} $$

Pensé que aquellos donde muy interesante para probar la desigualdad ya que esta es una de la transformación donde hablando.

En el borde de la sección simétrica

Hay 6 segmento en la superficie de (a+b)(b+c)(c+a)=8 que definen los límites de la simétrica de la región. Se puede verificar con una ecuación, en $a=b$ y uno en $b=c$ sabiendo que en este simétrica de la región de $0\leq c \leq1$. Uno puede resolver la desigualdad.

Por el borde corto, $a=b$, tenemos que:

$$ c=\frac{2}{\sqrt{a}}-a$$

Y usando la misma técnica para graficar el resultado como por el 3d caso obtenemos esta gráfica.

Por el borde largo, $b=c$, tenemos que:

$$ a=\frac{2}{\sqrt{c}}-c$$

Y obtener de esta gráfica.

Hasta ahora esto sólo prueba que no es de 6 de la curva en el borde de la simetría de que el respeto de la desigualdad. Este es un comienzo para un geométricas comprensión de lo que está pasando. Hay un mapa de $g(\theta,\phi)$, donde la curva $a=b$, $b=c$ y cualquier otra de uno tiene un fix $\phi$ valor $\phi \in [0,\pi/3]$ en estos curva de la desigualdad es una variable, $\theta$, que también está vinculado $\theta \in [0,\Theta(\phi)]$ donde $\Theta(\phi) \in [0.615,0.955]$. En dicho mapa puede ser más fácil de probar la desigualdad. Pero eso podría ser lo que usted está cansado de hacer.

Answer 2

Tenemos que demostrar que el $$\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)^6\geq\left(\frac{a^4+b^4+c^4}{3}\right)^3\left(\frac{(a+b)(a+c)(b+c)}{8}\right)^2$$ o $$\left(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\right)^6\geq\left(\frac{a^4+b^4+c^4}{3}\right)^3\left(\frac{(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3}{24}\right)^2.$$ Ahora, vamos a $a+b+c$ ser constante y $a^3+b^3+c^3$ ser constante.

Por lo tanto, por el Vasc EV Método:

https://www.emis.de/journals/JIPAM/images/059_06_JIPAM/059_06_www.pdf

Corolario 1.8, caso 3(a)

$a^4+b^4+c^4$ obtiene un valor máximo para una igualdad caso de dos variables.

Desde la última desigualdad es homogénea,

es suficiente para comprobar lo que sucede, por $b=c=1$, lo que da $$\left(\frac{a^3+2}{3}\right)^6\geq\left(\frac{a^4+2}{3}\right)^3\left(\frac{(a+1)^2}{4}\right)^2$$ or $f(a)\geq0,$ donde $$f(a)=6\ln(a^3+2)-3\ln(a^4+2)-4\ln(a+1)-3\ln3+4\ln2.$$ Ahora, $$f'(a)=\frac{2(a-1)(a^6+4a^5+4a^4-12a^3-10a^2+8a+8)}{(a^3+2)(a^4+2)(a+1)}$$ y desde $$a^6+4a^5+4a^4-12a^3-10a^2+8a+8>0,$$ hemos terminado!

De la misma forma en que podemos demostrar la fuerte desigualdad: $$\sqrt[27]{\frac{a^3+b^3+c^3}{3}}\geq\sqrt[53]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$ y a mi viejo $$\frac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[53]{\frac{a^4+b^4+c^4}{3}}$$ es probado!