Teoría de campo medio Vs Aproximación Gaussiana?

Question

Me estoy confundido acerca de la distinción entre la Media de la teoría de campo (MFT) y la aproximación Gaussiana (GA). He dicho en varias ocasiones (en el contexto del modelo de Ising) que la aproximación Gaussiana está en el mismo nivel como de la MFT.

Yo creo que se refiere a la media de la teoría del campo asociado con $$ H = -J \sum_{\langle i,j \rangle} \big (\sigma_i-M) + M \big) \big (\sigma_j - M) + M \big) ~, \etiqueta{1} $$ donde $M$ es la media de campo, y $(\sigma - M)$ representan las fluctuaciones. pero luego también he leído que el GA es el orden más bajo de corrección para el MFA - es decir, encontradas con la silla de montar-punto de método; consultar Kopietz et al. "Introducción a la funcional renormalization grupo". Springer (2013) [wcat].

¿Cómo es que estos dos están de acuerdo? Es la MFT asociados con (1) en realidad en el mismo nivel como el GA que está en un nivel más alto de la MFT asociados con la silla de montar de punto de aproximación? O me estoy perdiendo algo?

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Las respuestas se sitúan actualmente (23/03/2018) simplemente dar (exactamente o casi exactamente) lo que está en la referencia que me dio en esta pregunta - y como tal, esto es claramente algo que he visto antes. Esta referencia se hace a explicar (como he dicho en mi pregunta) que el GA es una corrección en el punto de silla de MFA. Pero no menciona nada acerca de la maestría en (1) y cómo se relaciona con la GA - que es básicamente el quid de mi pregunta.

Answer 1

La media de aproximación de campo cantidades para la evaluación de la integral funcional para la función de partición en el punto de silla de aproximación, mientras que la aproximación Gaussiana conserva cuadrática de las fluctuaciones alrededor del punto de silla y por lo tanto incluye el de menor orden de la corrección a la media de aproximación de campo en una expansión en las fluctuaciones alrededor del punto de silla.

La aproximación Gaussiana está estrechamente relacionado con el azar de la fase de aproximación, especialmente en el contexto de la cuántica de muchos sistemas del cuerpo, mientras que la media de aproximación de campo en ese caso podría ser visto como la auto-consistente Hartree–Fock aproximación.

La razón de la confusión puede ser que la aproximación Gaussiana sólo es válida si la dimensionalidad del sistema es mayor que un cierto superior de la dimensión crítica. Porque para el Ising universalidad de la clase de esta dimensión es de 4, la aproximación Gaussiana no es suficiente para describir el comportamiento crítico de Ising imanes en forma experimental accesible dimensiones, que es la razón por la que tal vez podría haber sido dicho en el mismo nivel que la media de aproximación de campo?

Answer 2

Aquí está un capítulo de un libro para resolver el problema: Kopietz et al. "Significa-la Teoría del Campo y la Aproximación Gaussiana". Lect. Notas Phys. 798, 23-52 (2010) [PDF].

Answer 3

Una teoría cuántica de campos es modelada por una distribución de probabilidad (mida), en el espacio de todas las configuraciones del campo, se especifica implícitamente por una acción funcional. Buscamos para describir sistemas mediante la caracterización de sus distribuciones con momentos (funciones de correlación).

Una simple caracterización de la multi-variable de distribución (cada punto corresponde a una variable aleatoria) es especificar es decir, en cada punto en el espacio. La media de la aproximación de campo hace exactamente eso, descuida todas las "fluctuaciones" en el campo de los valores en cada punto y se considera un clásico de campo "de perfil". Comúnmente, este campo de perfil también se supone que es uniforme en el espacio, de modo que uno puede resolver convenientemente para la auto-consistente respuestas para el fondo valor del campo. También, tenga en cuenta que lo que normalmente se calcula en la física (el más bajo de la acción de configuración decir, la máxima probabilidad) es en realidad el "modo" de la distribución, pero el modo y la media son intercambiables si la distribución es picuda y grandes fluctuaciones insignificante medida. (Nota: Si el sistema no está en ese régimen, entonces estas aproximaciones/truncamientos son inútiles todos modos, así que la división de los pelos con respecto a la terminología aquí es bastante inútil)

Mecánica cuántica, la verdadera solución es la superposición de un montón de configuraciones que son modelados como "fluctuaciones" en torno a la "media" de campo. Descuidar ninguna de las interacciones entre estas fluctuaciones en diferentes puntos (suprimida por una constante de acoplamiento) la orden principal de la dinámica es capturado por una ecuación cuadrática de Lagrange - sólo la cinética/gradiente términos de las fluctuaciones. Como esta acción conduce a una Gaussiana medida de las fluctuaciones de los grados de libertad, también se le conoce como la aproximación Gaussiana. Esto es equivalente a tratar a cada fluctuación de los grados de libertad como independiente oscilador armónico (esencialmente "libre" teoría de campo).

Si cada una de estas aproximaciones es útil depende de los detalles como el tamaño de la constante de acoplamiento, la dimensionalidad del sistema, etc.