Edificio en Mathmo123 y DonAntonio respuestas:
Vamos a escribir $\alpha=\sqrt[3]{2}$.
El tipo de factorización prima de $p$ que puede que se produce es la siguiente:
(0) $p$ puede ramificarse : tiene plaza de factores. Esto sólo se produce cuando $p$ divide el discriminante de la número de campo, aquí $-108$, lo $p=2$ o $p=3$. Para $p=2$, como ya se ha mencionado, la descomposición es:
$$2=(\alpha)^3.$$
Para $p=3$, es menos obvio de la expresión dada en la OP. Para la correcta descomposición es, de hecho,
$$3=(\alpha+1)^3(\alpha-1).$$
Tenga en cuenta que $\alpha-1$ es una unidad, su inversa se $\alpha^2+\alpha+1$, lo $3$ es un cubo, hasta una unidad.
(i) $p$ completo puede dividir como un producto de 3 no asociada a factores irreducibles
$$p=xyz,$$
donde $x,y,z$ tiene cada norma $p$.
(ii) $p$ puede dividir como un producto de 2 no asociada a factores irreducibles
$$p=xy,$$
donde $x$ norma $p$, $y$ norma $p^2$.
(iii) $p$ puede permanecer prime (inerte prime)
Asumimos $p>3$ a partir de ahora. Ahora, para describir la condición que, caso de producirse, consideremos el anillo
$A=\mathbb{Z}[\sqrt[3]{2}]/(p)=\mathbb{F}_p[X]/(X^3-2)$. Como Mathmo123 dice, $A$ es el producto de $k$ campos, $k$ dependiendo del número de factores de $X^3-2 \bmod p$, que es también el número de factores primos de a $p$.
Si $p\equiv2 \bmod 3$, $3$ es coprime a $p-1$, lo $x\mapsto x^3$ ha trivial núcleo y es un isomorfismo de $\mathbb{F}_p^\times$; en particular, $X^3-2$ tiene una única raíz. Así que estamos en el caso (ii). Ese es el caso de $p=5$, como notado por el OP, pero también se $11, 17, 23, \ldots$
Si $p\equiv1 \bmod 3$,$3 \mid p - 1$, por lo que hay dos primitivo $3$-de la raíz de la unidad $\zeta_3$$\mathbb{F}_p$. Aviso que si hay una raíz de $X^3-2$, multiplicando por $\zeta_3$ $\zeta_3^2$ da las otras dos raíces. Por lo $X^3-2$
tiene cero, o tres raíces en $\mathbb{F}_p$, por lo que estamos en el caso (iii) o (i), respectivamente.
Para saber en qué caso estamos, sólo queremos saber si $2$ es un cubo en $\mathbb{F}_p$. Para esto, se refieren a Irlanda y Rosen, Un clásico de introducción a la moderna teoría de números. La proposición 9.6.2 de que el libro nos dice que $x^3=2$ tiene una solución si y sólo si $p$ puede ser escrito
$$p=x^2+27y^2,$$
para algunos enteros $x,y$.
Para resumir, $p=2,3$ están asociados a los cubos, y para $p>3$
Si $p\equiv 1 \bmod 3$, e $p=x^2+27y^2$, luego
$p=q_1q_2q_3$ es el producto de tres números primos. Este es el caso por ejemplo de $p=31$.
$$31=(\alpha^2+3)(2\alpha^2-1)(\alpha^2+2\alpha-1).$$
Si $p\equiv 1 \bmod 3$, pero $p\neq x^2+27y^2$, luego
$p$ es el primer (inertes). Este es el caso por ejemplo de $p=7, 13, 19$.
Si $p\equiv 2 \bmod 3$, luego
$p=q_1q_2$ es el producto de dos números primos. Este es el caso por ejemplo de $p=5, 11$.
$$5=(\alpha^2+1)(-\alpha^2+2\alpha+1),$$
$$11=(\alpha^2+\alpha-1)(2\alpha^2+3\alpha-1).$$
