¿Cuál es la relación entre el área azul y el área roja?

Question

¡Este es un problema de escuela primaria!

Considera la siguiente figura:

Es muy fácil mostrar que el área roja y el área azul son iguales. Puedo demostrar esto basándome en mis conocimientos relacionados con el cálculo de las áreas de sectores circulares y triángulos. Ambas áreas son iguales a $2\left(\frac{r^2\pi}4-\frac{r^2}2\right)$ donde $r$ es el radio de los círculos más pequeños.

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Pero, ¿cómo voy a mostrar lo mismo si olvido, para siempre, la fórmula que proporciona el área de un triángulo?

No puedo deshacerme de mi proceso de pensamiento utilizando triángulos.

Answer 1

Ver la imagen con las partes azules desplazadas:

La figura azul única es la misma parte de su cuadrado pequeño que el rojo más ambos azules del cuadrado grande, por lo tanto las áreas $$\frac{2\cdot azul + rojo}{azul}=\frac{cuadrado\ grande}{cuadrado\ pequeño}=4$$ así que $$2\cdot azul + rojo = 4\cdot azul$$ por lo tanto $$rojo = 2\cdot azul$$ Q.E.D.

Sin la fórmula para el área de un triángulo, y sin la fórmula para el área de un círculo...

Answer 2

Hay dos partes rojas y dos partes azules. Llamemos a una parte azul $B$ y a una parte roja $R$. El radio del círculo pequeño es $r$. Ahora escribamos el área del gran cuarto de círculo con radio $2r$ en términos de estas variables usando el principio de inclusión-exclusión:

$$2 \cdot \frac{\pi r^2}{2} -2B+2R = \frac{\pi (2r)^2}{4}\\ R=B$$

Nota: En realidad no necesitamos que el área de un disco sea $\pi r^2$. Podemos asumir que es $A$ y usar la similitud de figuras.

$$2 \cdot \frac{A}{2} -2B+2R = \frac{2^2A}{4} \\ R=B$$

Answer 3

Aplica el teorema de la alfombra, consulta https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/CarpetsInSquare.shtml. Considera la octava superior del gran círculo y la mitad izquierda del círculo. Dado que sus áreas son iguales, las áreas que no están cubiertas por ambos también deben ser iguales, es decir, la mitad superior del área roja es igual a la mitad inferior de la azul.

Answer 4

Si olvidaste las fórmulas, pero recuerdas que las áreas son cuadráticas (es decir, "duplicar la longitud, cuadruplicar el área"), entonces sabes que un círculo de radio $2r$ utiliza cuatro veces el área de un círculo de radio $r$. Aquí, tienes un cuarto de un círculo de radio $2r$, y un círculo de radio $r$ (en dos mitades), por lo que deben cubrir la misma área. En otras palabras, las dos mitades del pequeño círculo deberían ser suficientes para cubrir el gran cuarto de círculo.

Sin embargo, las dos mitades del pequeño círculo se superponen (el área azul) y por lo tanto se pierde parte del poder de cobertura del área. Y, de hecho, el gran cuarto de círculo está parcialmente descubierto (el área roja). Por lo tanto, el área azul y roja DEBEN ser iguales.

Answer 5

El área roja $R$ es el área del gran cuarto de círculo menos las áreas internas blancas y azules. El radio del círculo más grande es 2*r. Entonces el área del gran cuarto de círculo es:

$$ Q = \frac {\pi(2r)^2}{4} = \pi r^2 $$

Visualmente, esto es equivalente a un cuarto de cada círculo pequeño (juntos, estos son medio círculo pequeño) más $r^2$ (el área del cuadrado pequeño en la esquina inferior izquierda) más el área roja:

$$ Q = \pi r^2 = \frac {\pi r^2}{2} + r^2 + R $$

Por lo tanto:

$$ R = \frac {\pi r^2}{2} - r^2 $$

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El área azul es igual al área del cuadrado pequeño $r^2$ menos 2 veces un área blanca más pequeña desconocida, que llamaremos $S$. $S$ es igual al área del cuadrado pequeño menos un cuarto del círculo pequeño.

$$ B = r^2 - 2S $$

$$ S = r^2 - \frac {\pi r^2}{4} $$

Simplificar:

$$ B = r^2 - 2 \cdot (r^2 - \frac {\pi r^2}{4}) $$

$$ B = r^2 - 2r^2 + \frac {\pi r^2}{2} $$

$$ B = \frac {\pi r^2}{2} - r^2 $$