Probabilidad de que la suma de los " n " números positivos menos de 2 a menos de 2

Question

Soy un estudiante de la escuela secundaria, Y me topé con este problema Q) si arbitrariamente elegir 3 reales números positivos menores o iguales a 2 ¿Cuál es la probabilidad de que su suma sea menor o igual a 2?

En mi curso, he aprendido a resolver 2 número basado en la probabilidad de problemas mediante el uso de la relación de las áreas trazadas por sus gráficos. Esta fue una pregunta de aplicación que requiere de mí para dibujarla en 3 dimensiones y encontrar la relación de sus volúmenes para obtener la necesaria probabilidad, y así me las arreglé para sacarlo y consiguió la necesaria respuesta.

Mi pregunta surgió entonces... ¿Cómo puedo lidiar con N dimensiones? Como sólo tengo el conocimiento para visualizar en 3 dimensiones a mi nivel de Matemáticas, Alguien me puede ayudar?

Estoy muy curioso de ver 1) la función real y cómo es el crecimiento es 2) la forma de resolver este tipo de problemas! (algún tipo de cálculo multivariable??)

Gracias!

Answer 1

Por supuesto, esto depende de cómo elegir los números.

Se podría suponer $X_1$, $X_2$, $X_3$ son variables aleatorias independientes cada uniformemente distribuidos en el intervalo de $[0,2]$.

Prefiero considerar $Y_1=X_1/2$ etc., y preguntar por la probabilidad de que $Y_1+Y_2+Y_3<1$. A continuación, $(Y_1,Y_2,Y_3)$ es un punto de manera uniforme distribuido en la unidad de cubo de $C$ (con vértices $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ etc.) De curso $C$ volumen $1$, y la probabilidad que buscamos es el volumen del tetraedro $T$ con vértices $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ y $(0,0,1)$.

Utilizando la fórmula de que el volumen de un tetraedro es una tercera del área de la base por la altura, entonces este es $1/6$.

En $n$ dimensiones de la probabilidad es la $n$-volumen de un $n$-simplex con vértices $(0,0,\ldots,0)$ e las $n$ estándar vectores unitarios. Usted puede calcular su volumen cuando se sabe que el volumen de un $n$-simplex es $1/n$ veces $(n-1)$-volumen de un rostro veces la altura correspondiente.

Answer 2

Yo no soy de las matemáticas chico o un estadístico, pero soy un ingeniero. En ingeniería, a menudo no nos importa el resultado exacto logra mediante la integración de 4 tiempos, sino más bien una forma de conseguir lo suficientemente cerca. Aquí es lo que yo hice para llegar lo suficientemente cerca usando python.

import random
# You can try changing this number.
n = 5

#a large number of trials. i.e. how many times we are going to 'roll the dice'?
trials = 500000 

successes = 0 # number of times the sum of n random numbers between 0 and 2 are less than 2
failures = 0 # number of times the sum of n random numbers between 0 and 2 are NOT less than 2

for i in range(0, trials): 
    #sum up n random numbers
    total = sum([random.uniform(0,2) for j in range(0,n)]) 

    # if the sum of our numbers is less than or equal to two, let's call it a success, otherwise a failure
    if total <= 2: successes += 1 
    else: failures += 1

# Finally, divide our number of successes by the total
probability = successes / (successes + failures) 
print("Approx. probability that {} random numbers between 0 and 2 sum up to be less than 2:".format(n), probability)

Salida:

n = 2: 0.501466
n = 3: 0.167362
n = 4: 0.042046
n = 5: 0.008338
n = 6: 0.001262
n = 7: 0.000192
n = 8: 2.8e-05

Básicamente, el código de arriba simula 500,000 ensayos del experimento y realiza un seguimiento de muchos éxitos y fracasos hay, a continuación, divide el número de éxitos por el número de ensayos para la estimación de una probabilidad.