Creo que hay una muy simple motivación para el cocycle condición:
Supongamos $f:X \to R$ es una función en un espacio de $X$ con valores en un anillo de $R$ (si se desea, $X$ es un colector, y $R$ $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y la función de $f$ es diferenciable o incluso holomorphic). Supongamos que $G$ es un grupo que actúa en $X$ (es decir a la izquierda). A continuación, para que la función pueda ser $G$-invariante, es decir que $f(gx)=f(x)$ todos los $x \in X$$g \in G$.
A menudo, esta condición es demasiado restrictiva, es decir, no hay suficientes funciones para satisfacer esta condición (así como de algunos otros amabilidad condiciones como holomorphic o lo que sea). En su lugar, usted puede ser que desee a la condición de la clase de funciones que satisface la siguiente relación $$f(gx)=j(g,x) f(x),$$ where $j:G \veces X \a R$ es una función. Te voy a dar la motivación para este tipo de relación abajo, pero primero me gustaría hablar de las consecuencias de dicha relación.
Supongamos que existe un valor distinto de cero $f$ la satisfacción de esta relación. A continuación, para todos los $x \in X$$g_1,g_2 \in G$, $$f(g_1 g_2 x) = j(g_1 g_2, x) f(x).$ $ En el otro lado, tenemos a
\begin{eqnarray*}
f(g_1 g_2 x) &=& j(g_1,g_2 x) f(g_2 x)
&=& j(g_1,g_2 x ) j(g_2,x) f(x)
\end{eqnarray*}
Así nos encontramos con que $j(g_1 g_2, x) = j(g_1,g_2 x) j(g_2, x)$. Si dejamos $\mathcal{O}^\times$ denotar el grupo de cero de las funciones de $X$ bajo la multiplicación (posiblemente sólo las personas que cumplen alguna condición, como la continuidad o la diferenciabilidad o holomorphicity), entonces podemos pensar que de $j$ como un mapa de $G \to \mathcal{O}^\times$. Podemos pensar de $G$ como actuar en el $\mathcal{O}^\times$ a la derecha por la precomposición y, a continuación, esta condición en $j$ es, precisamente, el cocycle condición para un mapa de $G \to \mathcal{O}^\times$. En particular, se determina un elemento de $H^1(G,\mathcal{O}^\times)$.
Así que de dónde la condición de $f(gx)=j(g,x) f(x)$? Voy a empezar con algunos clásicos aunque posiblemente menos conceptual de la motivación de funciones especiales, a continuación, dar la interpretación geométrica en términos de la línea de paquetes.
Deje $L$ ser un entramado en el plano complejo, es decir, el $\mathbb{Z}$vida de un $\mathbb{R}$-base de $\mathbb{C}$. Un theta de la función es una función de meromorphic tal que $\theta(z+\omega)=j(\omega,z)\theta(z)$ para todos los $z \in \mathbb{C}$, $\omega \in L$. Más generalmente, si $X$ es un contráctiles superficie de Riemann, y $G$ es un grupo que actúa en $X$ bajo suficientemente agradable condiciones, considere la posibilidad de meromorphic funciones de $f$ $X$ tal que $f(gz)=j(g,z)f(z)$ $z \in X$, $g \in G$, donde $j: G \times X \to \mathbb{C}$ es holomorphic fija $g$. En el caso de la teta de funciones, $G$$L$, e $X$$\mathbb{C}$.
Otro ejemplo básico es una forma modular como $G_{2k}(z)$, que satisface $G_{2k}(g z) = (cz+d)^{2k} G_{2k}(z)$ donde $g= \left(\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in G = SL_2(\mathbb{Z})$ actúa como un fraccionario de la transformación lineal. De ello se deduce automáticamente que algo tan simple como $(cz+d)^{2k}$ es un cocycle en el grupo cohomology, ya $G_{2k}$ es, por ejemplo, distinto de cero. En este caso,$X = \mathcal{H}$, el complejo de la mitad superior del plano.
Ahora, para algunos geométrica de la motivación. Me quedo con el caso de curvas elípticas, aunque podría reescribir esto y hacer que sea más general. Podemos definir una curva elíptica a ser $E=\mathbb{C}/L$ para una red bidimensional $L$. Tenga en cuenta que el primer grupo de homología de esta curva elíptica es isomorfo a $L$ precisamente porque es un cociente de la universalización de la cobertura $\mathbb{C}$$L$. Vamos a ver que una función theta es una sección de una línea de paquete en una curva elíptica. Desde cualquier línea de paquete puede ser elevada a $\mathbb{C}$, la cobertura universal, y cualquier línea de paquete a través de una contráctiles espacio es trivial, la línea de paquete es un cociente de la trivial línea paquete de más de $\mathbb{C}$. Podemos definir una función de $j(\omega,z):L \times \mathbb{C} \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$. A continuación, identificamos $(z,w) \in \mathbb{C}^2$ (es decir, la línea de paquete de más de $\mathbb{C}$)$(z+\omega,j(\omega,z)w)$. Para esta relación de equivalencia para dar una buena definición de paquete de más de $\mathbb{C}/L$, necesitamos la siguiente: Supongamos $\omega_1,\omega_2 \in L$. A continuación, $(z,w)$ se identifica con $(z+\omega_1+\omega_2,j(\omega_1+\omega_2,z)w$. Pero $(z,w)$ se identifica con $(z+\omega_1,j(\omega_1,z)w)$, que se identifica con $(z+\omega_1+\omega_2,j(\omega_2,z+\omega_1)j(\omega_1,z)w)$. En otras palabras, esto obliga a $j(\omega_1+\omega_2,z) = j(\omega_2,z+\omega_1)j(\omega_1,z)$. Esto significa que, si queremos ver $j$ como una función de $L$ para el conjunto de la no-desaparición de holomorphic funciones de $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$, con (derecha) L-acción en este conjunto definido por $(\omega f)(z) \mapsto f(z+\omega)$, $j$ es de hecho una $1$-cocyle en el idioma del grupo cohomology. Por lo tanto $H^1(L,\mathcal{O}(\mathbb{C}))$ donde $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ denota la (aditivo) $L$-módulo de holomorphic funciones en $\mathbb{C}$, clasifica a la línea de paquetes de más de $\mathbb{C}/L$. Lo que es más es que este conjunto es también clasificado por la gavilla cohomology $H^1(E,\mathcal{O}(E)^{\times})$ (donde $\mathcal{O}(E)$ es la gavilla de holomorphic funciones en $E$, y el $\times$ indica que el grupo de unidades del anillo de holomorphic funciones). Es decir, podemos calcular la gavilla cohomology de un espacio al considerar el grupo de cohomology de la acción de la homología de grupo en la universalización de la cobertura! Además, el $0$th grupo cohomology (esta vez de la meromorphic funciones, no sólo la holomorphic) es el invariante elementos en $L$, es decir, las funciones elípticas, y de manera similar a la $0$th gavilla cohomology es el mundial de las secciones, de nuevo las funciones elípticas.
Una vez que se construye una línea de paquete en la $E$ como un cociente de una línea de paquete en la $\mathbb{C}$ a través de la cocycle $j$, una sección de la línea de paquete corresponde a una función $f$ sobre el plano complejo la satisfacción de las cocycle condición. Del mismo modo, las formas modulares son las secciones de la línea de paquetes modulares curvas.
