Supongo que
$$P(A|B) = P(A | B,C) * P(C) + P(A|B,\neg C) * P(\neg C)$$
es correcto, mientras que
$$P(A|B) = P(A | B,C) + P(A|B,\neg C) $$
es incorrecta.
Sin embargo, me he llevado una "intuición" sobre la posterior, es decir, consideran que la probabilidad P(A | B) mediante la división en dos de los casos (C o No C). ¿Por qué esta intuición está mal?
Supongamos, como ejemplo contrario, el de que la probabilidad de $P(A)$$A$$1$, sin importar el valor de $C$. Entonces, si tomamos la incorrecta ecuación, obtenemos:
$P(A | B) = P(A | B, C) + P(A | B, \neg C) = 1 + 1 = 2$
Que obviamente no puede ser correcta, probablemente, no puede ser mayor que $1$. Esto ayuda a desarrollar la intuición de que usted debe asignar un peso a cada uno de los dos casos, proporcional a la probabilidad de que el caso es, que los resultados en la primera (correcta) de la ecuación..
Que te trae más cerca de su primera ecuación, pero los pesos no están completamente a la derecha. Véase A. Rex' comentario para el correcto pesos.
Dennis respuesta tiene una gran contra-ejemplo, desmintiendo el mal ecuación. Esta respuesta se busca explicar el por qué de la siguiente ecuación:
$$P(A|B) = P(A|C,B) P(C|B) + P(A|\neg C,B) P(\neg C|B).$$
Como cada término está condicionada a $B$, podemos reemplazar la totalidad de la probabilidad de espacio por $B$ y la caída de las $B$ plazo. Esto nos da:
$$P(A) = P(A|C) P(C) + P(A|\neg C) P(\neg C).$$
Luego se preguntan por qué esta ecuación tiene la $P(C)$ $P(\neg C)$ términos.
La razón es que el $P(A|C) P(C)$ es la porción de $A$ $C$ $P(A|\neg C) P(\neg C)$ es la porción de $A$ $\neg C$ y entre los dos suman a $A$. Consulte el diagrama. Por otro lado $P(A|C)$ es la proporción de $C$ contiene $A$ $P(A|\neg C)$ es la proporción de $\neg C$ contiene $A$ - estas son las proporciones de las diferentes regiones, por lo que no tienen denominadores comunes para la adición de ellos no tiene sentido.
Yo sé que usted ha recibido ya dos grandes respuestas a su pregunta, pero yo sólo quería señalar cómo se puede activar la idea detrás de la intuición en la ecuación correcta.
Primero, recuerde que la $P(X \mid Y) = \dfrac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$ y, equivalentemente,$P(X \cap Y) = P(X \mid Y)P(Y)$.
Para evitar cometer errores, vamos a utilizar la primera ecuación en el párrafo anterior para eliminar todas las probabilidades condicionales, a continuación, mantener la reescritura de expresiones relacionadas con las intersecciones y uniones de eventos, a continuación, utilizar la segunda ecuación en el párrafo anterior para volver a introducir las oraciones condicionales en la final. Por lo tanto, empezamos con: $$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
Vamos a mantener la reescritura de la mano derecha hasta llegar a la deseada ecuación.
Los módulos de trabajo en su intuición se expande el caso de $A$ a $(A \cap C) \cup (A \cap \neg C)$, lo que resulta en $$P(A \mid B) = \dfrac{P(((A \cap C) \cup (A \cap \neg C)) \cap B)}{P(B)}$$
Como con los conjuntos, la intersección y distribuye más de la unión: $$P(A \mid B) = \dfrac{P((A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \neg C))}{P(B)}$$
Puesto que los dos eventos que se unen en el numerador son mutuamente excluyentes (desde $C$ $\neg C$ no puede suceder), podemos utilizar la regla de la suma: $$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \cap B \cap \neg C)}{P(B)}$$
Vemos ahora que la $P(A \mid B) = P(A \cap C \mid B) + P(A \cap \neg C \mid B)$; por lo tanto, usted puede utilizar la suma de la regla en el evento en que el evento de interés (el lado "izquierdo" de la condicional bar) si se mantiene el evento (la "derecha") de la misma. Esto puede ser utilizado como una regla general para la igualdad de las pruebas así.
Nos re-introducir el deseado condicionales usando la segunda ecuación en el segundo párrafo: $$P(A \cap (B \cap C)) = P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)$$ y lo mismo para $\neg C$.
Sustituimos esto en la ecuación de $P(A \mid B)$: $$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \mid B \cap C)P(B \cap C)}{P(B)} + \dfrac{P(A \mid B \cap \neg C)P(B \cap \neg C)}{P(B)}$$
Tomando nota de que $\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)} = P(C \mid B)$ (y lo mismo para $\neg C$), finalmente llegamos $$P(A \mid B) = P(A \mid B \cap C)P(C \mid B) + P(A \mid B \cap \neg C)P(\neg C \mid B)$$
Que es la correcta ecuación (aunque con un poco de notación diferente), incluyendo la revisión A. Rex señaló.
Tenga en cuenta que $P(A \cap C \mid B)$ se convirtió en $P(A \mid B \cap C)P(C \mid B)$. Esto se refleja en la ecuación de $P(A \cap C) = P(A \mid C)P(C)$ mediante la adición de la $B$ condición no sólo de $P(A \cap C)$$P(A \mid C)$, pero también se $P(C)$. Creo que si son para uso familiar, normas sobre acondicionado, probabilidades, es necesario añadir la condición de que todas las probabilidades en la regla. Y si hay alguna duda sobre si la idea funciona para una situación en particular, siempre se puede ampliar el condicionales para comprobar, como el que hice para esta respuesta.
Las probabilidades son las proporciones; la probabilidad de a dado B es la frecuencia con la que ocurre dentro del espacio de B. Por ejemplo, $P(\text{rain|March})$ es el número de días de lluvia en Marzo dividido por el número total de días en el mes de Marzo. Cuando se trata de las fracciones, tiene sentido dividir los numeradores. Por ejemplo,
\begin{align} P(\text{rain or snow|March}) &= \frac{(\text{number of rainy or snowy days in March})}{(\text{total number of days in March})} \\[7pt] &= \frac{(\text{number of rainy days in March})}{(\text{total number of days in March)}} + \\[4pt] &\qquad \frac{\text{(number of snowy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} \\[7pt] &= P(\text{rain|March})+P(\text{snow|March}) \end{align}
Por supuesto, esto supone que la "nieve" y "la lluvia" son mutuamente excluyentes. Es, sin embargo, no tienen sentido para dividir los denominadores. Así que si usted tiene $P(\text{rain|February or March})$, que es igual a
$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March})}.$$
Pero que no es igual a
$$\frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February})} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}}.$$
Si usted está teniendo problemas para ver de eso, usted puede probar algunos de los números. Supongamos que hay 10 días de lluvia en febrero y 8 de Marzo. Entonces tenemos
$$\frac{(\text{number of rainy days in February and March})}{(\text{total number of days in February and March)}} = (10+8)/(28+31) = 29.5\% $$
y
\begin{align} \frac{(\text{number of rainy days in February})}{(\text{total number of days in February)}} + \frac{(\text{number of rainy days in March)}}{(\text{total number of days in March)}} &= (10/28)+(8/31) \\ &= 35.7\% + 25.8\% \\ &= 61.5\% \end{align}
El primer número, el 29,5%, que es la media de 35,7% y el 25,8% (con el segundo número ponderado ligeramente más porque no hay más días de Marzo). Cuando usted dice $P(A|B)=P(A|B,C)+P(A|B,¬C)$ estás diciendo que $\frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} = \frac{x_1}{y_1}+\frac{x_2}{y_2}$, lo cual es falso.
Si voy a España, me puede conseguir quemado por el sol. $$P(sunburnt | Spain)=0.2$$ Esto me dice nada acerca de la obtención de quemado por el sol si no se va a España, vamos a decir $$P(sunburnt|\neg Spain)=0.1$$ Este año me voy a España, por lo que $$P(sunburnt)=0.2$$ Dejando $B=\Omega$, esto es, $P(B)=1$, su intuición implicaría $$P(A)=P(A|C)+P(A|\neg C)$$ que por el argumento anterior, no es neccesarily verdadero.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
