¿Qué tipo de matriz es esto y por qué sucede esto?

Question

Así que yo era el estudio de las cadenas de Markov y me encontré con esta matriz \begin{align*}P=\left( \begin{array}{ccccc} 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0\\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ \end{array} \right).\end{align*}

Me di cuenta (por fuerza bruta), que \begin{align*}P^2=\left( \begin{array}{ccccc} \frac{7}{16} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{16}\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ \frac{3}{8} & 0 & 0 & \frac{1}{4}& \frac{1}{2}\\ \frac{7}{16} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{16}\\ \end{array} \right)\end{align*} y \begin{align*}P^3=\left( \begin{array}{ccccc} 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ \frac{7}{16} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{16}\\ \frac{7}{16} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{16}\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ \end{array} \right).\end{align*}

De hecho, el uso de un ordenador he encontrado que cada poder toma la forma de la $P^2$ matriz y cada una de las extraño poder toma la forma de la $P^3$ matriz.

Yo sólo quería saber por qué esa oscilación se produce? Hay un nombre especial para el tipo de matriz que $P$ es para exhibir ese tipo de comportamiento?

Answer 1

Este es un periódico de la cadena de Markov (con período de $2$). De lo contrario, no hay mucho que terriblemente inusual en ello.

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Usuario "Iwillnotexist Idonotexist" provoca un punto importante en los comentarios:

Bien, algo que puede ser observado para el periódico de las cadenas de Markov es que por definición, no puede ser ergodic, otra propiedad muy importante de MCs que pueden surgir pronto. A grandes rasgos, un ergodic MC que se ejecuta suficiente "olvida" todo acerca de su estado inicial. Si el MC es periódica, entonces es claro que usted debe recordar cierta información sobre el contenido de el estado inicial, debido a que usted está atascado en un bucle de estados que siguen llegando de vuelta y no olvidar.

Answer 2

Observe que la matriz $$\begin{align*}P=\left( \begin{array}{ccccc} 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0\\ \frac{1}{4} & 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0& 0\\ \end{array} \right).\end{align*}$$

tiene un bloque especial de descomposición como

$$ P=\begin {pmatrix} 0&A &0\\B&0&C\\0&D&0\end{pmatrix}$$

Donde a,B,C,D son distintos de cero submatrices.

Para encontrar $P^2$ podemos utilizar el nuevo formulario para obtener

$$ P^2 = \begin {pmatrix} 0&A &0\\B&0&C\\0&D&0\end{pmatrix}\begin {pmatrix} 0&A &0\\B&0&C\\0&D&0\end{pmatrix}=\begin {pmatrix} AB&0 &AC\\0&BA+CD&0\\DB&0&DC\end{pmatrix} $$

Como usted sabe, se puede encontrar potencias de P mediante la multiplicación de la nueva forma de P como tantas veces como se desee.

La alternancia de la repetición de la forma de las potencias de P es debido a que el bloque de la descomposición de P.

Answer 3

Es una matriz tal que $P^4= P^2$ y algunas otras relaciones. Vemos que

$$ 0 = P^4 - P^2 = P^2(P^2 - I) = P^2(P-I)(P+I)$$

por lo que el polinomio mínimo $\mu_P(x)$ divide $x^2(x-1)(x+1)$.

Sin embargo, el polinomio mínimo es no a cualquiera de $$x, x^2, x-1, x+1, \underbrace{x(x-1)}_{P^2 \ne P}, \underbrace{x(x+1)}_{P^2 \ne -P}, \underbrace{x^2(x-1)}_{P^3 \ne P^2}, \underbrace{x^2(x-1)}_{P^3 \ne -P^2}, \underbrace{(x-1)(x+1)}_{P^2 \ne I}, \underbrace{x(x-1)(x+1)}_{P^3 \ne P}$$ so it has to be precisely $x^2(x-1)(x+1)$.

Las posibilidades de la forma normal de Jordan de a $P$ son:

$$\pmatrix{0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}, \pmatrix{0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}, \pmatrix{0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1}$$

significado $5 \times 5$ matrices tienen las propiedades anteriores si y sólo si son similares a una de las tres matrices anteriores.

Answer 4

Las entradas están entre 0 y 1 y en cada fila las entradas agregar hasta 1. Ellos son llamados matrices estocásticas. Tienen 1 como un valor eigen con $(1,1,\ldots,1)^T$ correspondiente autovector. Esta propiedad es heredada por todas las potencias de la matriz.

Answer 5

Usted puede dibujar un gráfico para que su matriz es la matriz de probabilidades de cambio de estado (algunos pesos en los bordes). La pintura de los estados a, D y E como blanco, y B y C y negro. Entonces cualquier posible movimiento que cambia el color.

Puesto que P^n es el probablility matriz de pasar de X a Y es exactamente en n pasos (o suma de productos de los pesos visto por cualquier n-ruta paso), la oscilación se produce porque el grafo es bipartito. Puede producir oscilación con otro período si desea de esta manera.