¿Cómo consigue WolframAlpha una respuesta exacta aquí? ${}{}$

Question

Tenía que calcular algo sencillo con una calculadora: $$\sin\left(2\cos^{-1}\left(\frac{15}{17}\right)\right)$$ Obtuve la respuesta decimal de alrededor de $0.83044983$ pero cuando lo escribí en WolframAlpha, también dio una respuesta exacta de $\frac{240}{289}$ . ¿Cómo se puede obtener una respuesta exacta aquí?

Answer 1

Aquí hay tres fórmulas relevantes:

• $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ .

• $\cos \cos^{-1} x = x.$

• $\sin \cos^{-1} x = \sqrt{1 - x^2}$ después de dibujar un triángulo rectángulo apropiado.

La combinación de estos tres para obtener la conclusión deseada se deja al lector interesado.

Answer 2

Llame a

$$ u = \cos^{-1}\frac{15}{17} $$

Por lo tanto,

$$ \cos u = \frac{15}{17} $$

y

$$ \sin u = \sqrt{1 - \cos^2 u} = \sqrt{1 - \frac{15^2}{17^2}} = \frac{8}{17} $$

Con estos dos sólo hay que calcular

$$ \sin 2u = 2\sin u \cos u = 2\frac{15}{17}\frac{8}{17} = \color{blue}{\frac{240}{289}} $$

Answer 3

\begin{align} \sin \theta &= \dfrac{8}{17} \\ \cos \theta &= \dfrac{15}{17} \\ \hline \sin\left(2 \arccos \dfrac{15}{17} \right) &= \sin(2 \theta) \\ &= 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \\ &= \cdots \end{align}

Answer 4

$ (8,15,17)$ son longitudes de un triple triángulo rectángulo pitagórico. Si es necesario, se puede dibujar un triángulo rectángulo estrecho con estas longitudes de los lados.

$$\sin(2\cos^{-1}\frac{15}{17}) = \sin(2\sin^{-1}\frac{8}{17}) = 2 \cdot \frac{8}{17}\cdot \frac{15}{17} =\frac{240}{289}.$$

Answer 5

Dejemos que $\cos^{-1}x=y\implies\cos y=x$

Utilizando Valores principales , $0\le x\le\pi\implies\sin y\ge0$

y $\sin y=+\sqrt{1-\cos^2y}=?$

Finalmente, $\sin2(\cos^{-1}x)=\sin2y=2\sin y\cos y=?$