Tengo esta integral:
$$\int{\sec^3x\,\mathrm dx}$$
No entiendo cómo iba a resolver esto. Google y los videos de YouTube no me ayudan a entender mucho, otros que simplemente dar la respuesta.
Es posible explicar paso a paso cómo se iba a resolver, suponiendo que esta es la primera vez que estoy viendo?
$$\int \sec^3(x)\,\mathrm dx$$ Integrar por partes, con
$$dv=\sec^2(x)\,\mathrm dx$$
$$v=\tan(x)$$
$$u=\sec(x)$$
$$du=\sec(x)\tan(x)\,\mathrm dx$$
La obtención de
$$ \begin{align} \int \sec^3(x)\,\mathrm dx &= \sec(x)\tan(x)-\int \sec(x)\tan^2(x)\,\mathrm dx\\ &=\sec(x)\tan(x)-\int \sec(x)\left(\sec^2(x)-1\right)\,\mathrm dx\\ &=\sec(x)\tan(x)-\int \left( \sec^3(x)-\sec(x) \right)\,\mathrm dx \end{align}\ $$
$$\int \sec^3(x) \, \mathrm dx = \sec(x)\tan(x)-\int \sec^3(x)\,\mathrm dx + \int \sec(x)\,\mathrm dx$$
La adición de $\int \sec^3(x)\,\mathrm dx$ a ambos lados de los rendimientos
$$2\int \sec^3(x)\,\mathrm dx =\sec(x)\tan(x) + \log\Big|\sec(x)+\tan(x)\Big|$$
Dividiendo por $2$ da
$$\int \sec^3(x)\,\mathrm dx= \dfrac{\sec(x)\tan(x)+\log\Big|\sec(x)+\tan(x)\Big|}{2} + \mathcal C$$
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