Producto de ideales para Nakayama del Lema

Question

El resultado de probar es la siguiente:

Deje $R$ ser un local Noetherian anillo. A continuación, el número mínimo de generadores del único ideal maximal $P$ es igual a la dimensión de $P/P^2$ como un espacio vectorial sobre $R/P$.

Prueba:

$P$ es generado por $x_1, ... , x_n$ $\iff$ $P/P^2$ es generado por $\overline{x_1}, ... , \overline{x_n}$, donde una barra indica la imagen de un elemento en el cociente $P/P^2$.

($\implies$) Claro.

($\impliedby$) Supongamos $\overline{x_1}, ... , \overline{x_n}$ generar $P/P^2$. Considere la posibilidad de $I=(x_1, ... , x_n) \leq P$ . A continuación,$I + P^2 =P$.

$\mathbf{Hence}$, $\mathbf{P(P/I)=P/I}$.

A continuación, Nakayama implica $P/I=0$ y hemos terminado.

Mi pregunta: estoy completamente atascado en la parte en negrita. Agradezco explícito/trivial responde a la mayoría. Gracias!

Answer 1

Deje $M$ ser un (a la izquierda) módulo de e $L$ un submódulo de $M$. Deje $I$ ser un (a la izquierda), ideal de $R$ (ninguna suposición sobre el anillo). A continuación, $IM$ es un submódulo de $M$ y $$ I(M/L)=(IM+L)/L $$ Prueba. El submódulo $I(M/L)$ $M/L$ es generado por los elementos de la forma$r(x+L)$$r\in I$$x\in M$. Dicho elemento se encuentra en $(IM+L)/L$. Por el contrario, un elemento de $(IM+L)/L$ es de la forma $$ \sum_{k=1}^n ((r_kx_k+l_k)+L)=\sum_{k=1}^n (r_kx_k+L)\I(M/L).\etiqueta*{QED} $$

Por lo tanto, si usted ha demostrado que $P^2+I=P$, usted tiene $$ P(P/I)=(P^2+I)/I=P/I. $$

Answer 2

No sé qué significa un "trivial" respuesta para usted, pero esto es realmente trivial: $P/I$ $R$- módulo, y $P$ un ideal, entonces, ¿qué podría significar $P(P/I)$?

Bien, vamos a considerar una imagen más grande: si $M$ $R$- módulo, a continuación, $PM$ es, por definición, el submódulo de $M$ compuesto de elementos de la forma$\sum a_im_i$$a_i\in P$$m_i\in M$.

Volviendo a nuestro caso, los elementos en $P(P/I)$ son de la forma$\sum a_i\bar x_i$$a_i\in P$$\bar x_i\in P/I$. Pero $\bar x_i\in P/I$ significa que no es $p_i\in P$ tal que $x_i-p_i\in I$, y por lo tanto $\sum a_ix_i=\sum a_i(x_i-p_i)+\sum a_ip_i\in I+P^2$. Por lo tanto $\sum a_ix_i\in P$, por lo tanto $\sum a_i\bar x_i\in P/I$.