¿Por qué esto no es una extensión de Kan?

Question

Supongamos que tenemos funtores $F:C\to E$ y $K:C\to D$ con algún $H:D\to E$ tal que $F=HK$. Existe una transformación obvia $1:F\to HK=F$.

Pregunta: ¿Es esto ($H,1_F$) una extensión de Kan izquierda de $F$ a lo largo de $K?

Quiero que la respuesta sea sí, pero me dijeron que no.

Vemos que para cualquier $G$ con una transformación $\alpha:F\to GK$ hay una transformación única $HK\to GK$ que factoriza $\alpha$. Esto es verdad ya que $HK=F$, por lo que podemos elegir $\alpha$ como la única, y así es una extensión de Kan izquierda.

¿Dónde falla este argumento?

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edición: (gracias a la respuesta de Eric)

Una extensión de Kan debería tener una transformación única $\beta:H\to G$ que induzca la $HK\to GK$ anterior, y esta $\beta$ no siempre existe.

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He encontrado lo que creo que es un contraejemplo.

Para $F=HK$ no es necesariamente cierto que $H,1_F$ sea una extensión de Kan izquierda. Ejemplo simple: Supongamos que $C$ es una categoría con una sola flecha no trivial, y $D=E$ es una categoría con dos flechas no paralelas no triviales $f$ y $g$.

Permita que $K=F:C\to D$ mapee la sola flecha de $C$ a $f$. Deje que $H:D\to D$ mapee ambas flechas de $D$ a $f$, y deje que $G=1_{D}$. Claramente $F=HF$ al igual que $F=GF$. Pero no hay transformaciones naturales (ya que $f,g$ tienen conjuntos de fuentes y objetivos disjuntos) de $H$ a $G$ por lo que no puede ser una extensión de Kan.

Answer 1

De hecho, hay una transformación natural única $\alpha: HK \to GK$ como afirmas. Sin embargo, lo que necesitas para tener una extensión de Kan no es una transformación natural única $HK \to GK$, sino una transformación natural única $\beta: H \to G$ tal que la transformación natural inducida $HK \to GK$ haga que el diagrama conmute. No hay ninguna razón obvia por la que tu $\alpha$ deba provenir de un $\beta: H \to G$, o que el $\beta$ del que proviene deba ser único.