La integración de $ \int \frac{2\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x} dx $

Question

¿Cómo puedo integrar esta por cambio de variable?

$$ \int \frac{2\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x} dx $$

Gracias.

Answer 1

Deje $a$ ser tal que $(2a)^2+a^2=1$. Deje $\theta$ ser tal que $\cos(\theta)=a$$\sin(\theta)=2a$. Entonces usted tiene

$$ \begin{align} \int \frac{2\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x} dx &=\int \frac{2a\sin x + a\cos x}{a\sin x + 2a\cos x} dx\\ &=\int \frac{\sin(\theta)\sin x + \cos(\theta)\cos x}{\cos(\theta)\sin x + \sin(\theta)\cos x} dx\\ &=\int \frac{\cos(x-\theta)}{\sin(x+\theta)} dx\\ &=\int \frac{\cos(u-2\theta)}{\sin(u)} du\\ &=\int \frac{\cos(u)\cos(2\theta)+\sin(u)\sin(2\theta)}{\sin(u)} du\\ &=\int \left(\cot(u)\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\right) du\\ \end{align} $$

Y debe ser fácil desde aquí.

Answer 2

Usted debe usar este : $t=\tan(\frac{x}{2})$

Usted necesitará recordar que $\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$ $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$

Answer 3

Deje $u(x)=\log(\sin x + 2\cos x)$, $(\sin x + 2\cos x)'=\cos x-2\sin x$ por lo tanto $$u'(x)=\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x + 2\cos x}.$$ More generally, for every $(a,b)$, $$(au(x)+bx)'=\frac{(a+2b)\cos x+(b-2a)\sin x}{\sin x + 2\cos x}$$ Solving for $(a+2b,b-2a)=(1,2)$ yields $(a,b)=(-\frac35,\frac45)$ hence $$ \int \frac{2\sin x + \cos x}{\sin x + 2\cos x}\,\mathrm dx=-\frac35u(x)+\frac45x+C=-\frac35\log(\sin x + 2\cos x)+\frac45x+C. $$

Answer 4

SUGERENCIA: Expresar pecado y de la cos en términos de tan (x/2)