¿Cuál es la conexión entre el discriminante de una cuadrática y la fórmula de la distancia?

Question

La coordenada $x$ del centro de una parábola $ax^2 + bx + c$ es $$-\frac{b}{2a}$$

Si observamos la fórmula cuadrática

$$\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

podemos ver que especifica dos puntos a cierta distancia del centro

$$-\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Esto significa que $\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ es la distancia (horizontal) desde el vértice hasta las raíces. Si entrecierro los ojos, las dos cantidades cuadradas que se restan bajo un signo de raíz cuadrada me recuerdan la fórmula de la distancia euclidiana

$$\sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2}$$

¿Hay alguna conexión? Si no, ¿hay alguna razón intuitiva o geométrica por la cual $\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ debería ser la distancia horizontal desde el vértice hasta las raíces?

Answer 1

Supongamos que $a\ne 0$ y $b^2-4ac\geq 0$. Sea $f(x)=ax^2+bx+c$ y $$ x_0= -\frac{b}{2a},\; x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}, \;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}. $$ Se sigue que $$ y_0=f(x_0)=\frac{-b^2+4ac}{4a},\;y_1=f(x_1)=0, \; y_2=f(x_2)=0. $$ Las distancias desde el vértice a las raíces: $$ d_1=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}=\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}-\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2+\left(\frac{-b^2+4ac}{4a}\right)^2}=\frac{\sqrt{(b^2-4ac)^2+4(b^2-4ac)}}{4|a|}>\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}, $$ $$ d_2=\sqrt{(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2}=\sqrt{\left(-\frac{b}{2a}-\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2+\left(\frac{-b^2+4ac}{4a}\right)^2}=\frac{\sqrt{(b^2-4ac)^2+4(b^2-4ac)}}{4|a|}>\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2|a|}. $$

Answer 2

¡La conexión que estás buscando es simplemente el teorema de Pitágoras!

Imagina una parábola boca abajo. Pido que esté boca abajo para que la coordenada $y$ del centro sea positiva. Hago esto solo por conveniencia, mis argumentos son ciertamente válidos para cualquier parábola con dos ceros.

Pides una relación entre la ecuación de la distancia y la fórmula cuadrática. Imagina dos líneas:

1) Una que conecta el centro y el eje $x$

2) Una que conecta el centro y el cero.

Lo que tienes que ver aquí es que estas dos líneas, cuando se combinan con la distancia horizontal entre el centro y el cero, ¡forman un triángulo rectángulo!

La longitud de la línea $1$ es simplemente la coordenada $y$ del centro, mientras que la longitud de la línea $2$ (llamémosla $H$) está dada por la fórmula de la distancia: $$H = \sqrt{(x_c-x_0)^2 + (y_c-y_0)^2}$$

Y la distancia horizontal está conectada a estas dos por Pitágoras: $$y_c^2 + D^2 = H^2 \to D = \sqrt{H^2-y_c^2}$$

Tu entrecerrar de ojos estuvo casi correcto. Simplemente olvidaste que Pitágoras también da estas combinaciones divertidas de cuadrados y raíces cuadradas.

Hagamos un poco de álgebra: Las coordenadas del centro son: $$x_c = \frac{-b}{2a} \quad \quad y_c = \frac{b^2(1-2a) + 2ac}{4a}$$

Si tomamos la fórmula cuadrática como válida, las coordenadas de un cero son:

$$x_0 = \frac{-b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad \quad y_0 =0$$

Podemos calcular $H$, pero como soy perezoso, calcularemos $H^2$: $$H^2 = (x_c-x_0)^2 + (y_c-y_0)^2$$ $$H^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} + y_c^2$$

Nota que dejé $y_c$ como está. Verás por qué en un segundo:

La distancia que quieres es:

$$D = \sqrt{H^2-y_c^2} = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2} + y_c^2 - y_c^2} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Entonces, el enlace que te faltaba es el triángulo rectángulo formado por el centro, el cero y el eje $x$. Ten en cuenta también que la fórmula de la distancia se deriva de Pitágoras, por lo que en realidad la única conexión es entre Pitágoras y la fórmula cuadrática.

Answer 3

Para la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ el segundo coeficiente representa el promedio de las dos raíces:

$$ \frac{1}{2}(r_1 + r_2) = -\frac{b}{2a} $$

En lugar de usar la fórmula cuadrática directamente, simplementemtne podemos observar que:

$$ (x - r_1)(x - r_2) = x^2 - (r_1 + r_2) + r_1 r_2$$

Esto también recupera que el producto medio de las dos raíces es $r_1 r_2 = \frac{c}{a}$.

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Para obtener la distancia entre las dos raíces necesitamos estimar la distancia $|r_1 - r_2|$:

$$ |r_1 - r_2| = \sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4 r_1 r_2} = \sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a}} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$$

Answer 4

Considere la imagen a continuación.

Las raíces de $f(x)=ax^2+bx+c$ estarán en el círculo en el plano complejo cuyo centro es $\dfrac{-b}{2a}.$ En el caso donde ambas raíces son números reales, estarán en la recta real en $R_1$ y $R_2.$ En el caso donde las raíces son puramente imaginarias, estarán en el eje vertical en $ir_1$ y $-ir_1.$ Ahora queremos encontrar $d$ el radio del círculo.

Para hacer esto, observe que el producto de las raíces de $f(x)=ax^2+bx+c$ es $\dfrac ca.$ Así que en el caso en que las raíces sean puramente imaginarias, tenemos $$\frac ca=(ir_1)(-ir_1)=r_1^2,$$ Y por lo tanto $r_1=\sqrt{\dfrac ca}.$ Tenga en cuenta que estas raíces solo ocurrirán cuando $b=0$ y $ac>0.$

Ahora, para encontrar la distancia $d$, usamos el Teorema de Pitágoras para obtener

$$d^2=\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+\left(\pm i\sqrt{\frac{c}{a}}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}+\frac{-c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2},$$ y por lo tanto $$d=\frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

En el caso en que las raíces sean ambas reales, para $b^2>4ac$ tenemos $$R_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\quad\text{y}\quad R_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

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Uno puede tener dificultades o cuestionar el argumento anterior, ya que $d$ no es una distancia tal como se define tradicionalmente en el plano complejo. Ver pregunta relacionada:

Teorema de Pitágoras para números imaginarios

Se debe tener en cuenta que mi noción de distancia se está haciendo en el espacio hiperbólico. Tanto en el plano euclidiano como en el plano hiperbólico, la distancia entre puntos en la recta real es la misma. Pero una vez que nos aventuramos fuera de la recta real, obtenemos diferentes versiones del Teorema de Pitágoras.

En el espacio euclidiano, tenemos $\cos^2t+\sin^2t=1\Longrightarrow a^2+b^2=c^2.$

En el espacio hiperbólico, tenemos $\cosh^2t{\color{red}-}\sinh^2t=1\Longrightarrow a^2-b^2=c^2\equiv a^2+(\pm ib)^2=c^2.

Usted puede preguntar:

¿Por qué necesitamos representar nuestras raíces en el plano hiperbólico?

Respuesta:

¡Porque nos permite usar números imaginarios como longitudes en el plano euclidiano!

Answer 5

Dependiendo de lo que se entienda por 'conexión'.

Si partimos de la fórmula de la distancia, eventualmente podemos obtener la distancia mencionada $\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. Por lo tanto, la respuesta es sí.

Sin embargo, esperar empezar desde la expresión de la distancia e intentar convertirla a la forma de la fórmula de la distancia es pedir demasiado.

En cuanto a la razón geométrica:-

Podemos mirar una explicación a través de la suma y el producto de las raíces $\alpha, \beta$ donde $\alpha$ y $\beta$ tienen sus valores dados por la mencionada fórmula cuadrática y con la suposición adicional de que $\beta \ge \alpha$.

La distancia entre estas dos raíces es dada por

$\beta – \alpha = \sqrt {(\beta - \alpha)^2} = ...$ utilizando la técnica de suma de raíces y producto de raíces ... = $\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$