Problema De Iluminación

Question

Me pueden ayudar con este problema de combinatoria?

Hay $12$ luces en una fila enumerados de $1$$12$. Las luces $3$, $7$ y $11$ está encendida y de que los demás están apagados. Una de las luces se pueden encender si al menos uno de sus vecinos se enciende y las luces no puede ser apagado. De cuántas maneras puede encender todas las luces?

Answer 1

MÉTODO 1

Luces numeran como sigue (de color naranja indica que está activado ya): $$1, 2, \color{orange}3,4,5,6,\color{orange}7,8,9,10,\color{orange}{11},12$$

Tenga en cuenta que es posible subsecuencias (con nombres), que debe ser secuencial, pero no necesariamente consecutivos, son:

$Z=12$

$P,Q=2, 1$

$A,B,C= (4,5,6), (4,6,5),(6,5,4),(6,4,5)$

$D,E,F= (8,9,10),(8,10,9),(10,9,8),(10,8,9)$

Hay 9 espacios para ser llenados (orden de la conexión). Piense en esto como con la organización de letras Z,P,Q,a,B,C,D,E,F, donde subsecuencias de arriba deben tener.

Empezar con $9$ espacios.

Primer lugar Z. No se $\color{blue}9$ maneras.

Esto deja a $8$ espacios.

A continuación, coloque $P,Q$ s.t. son secuenciales, pero no necesariamente consecutivos.
Número de formas = $$\sum_{p=1}^7\sum_{p=p+1}^8 1=\sum_{q=2}^8\sum_{p=1}^{p-1}1 =\sum_{q=2}^8\binom {q-1}1=\binom 82=\color{blue}{28}$$

Esto deja a $6$ espacios.

Ahora coloque $A,B,C$ s.t. son secuenciales, pero no necesariamente consecutivos.
Número de formas= $$\sum_{a=1}^4\sum_{b=a+1}^5\sum_{c=b+1}^6 1 =\sum_{c=3}^6\sum_{b=2}^{c-1}\sum_{a=1}^{b-1}1 =\sum_{c=3}^6\sum_{b=2}^{c-1}\binom{b-1}1 =\sum_{c=3}^6\binom{c-1}2 =\binom{6}3=20$$

Multiplica esto por $4$ (como hay $4$ posibilidades de $A,B,C$) para dar a $\color{blue}{80}$.

Esto deja a $3$ espacios.

No sólo es $1$ manera a los lugares $D,E,F$ son secuenciales (sólo hay $3$ espacios a la izquierda para $3$ letras y ellos pueden o no pueden ser consecutivos). Multiplica esto por $4$ (como hay $4$ posibilidades de $D,E,F$) para dar a $\color{blue}4$.

Número Total de maneras = $\color{blue}{9\cdot 28\cdot 80\cdot 4}=\color{red}{80640}$

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MÉTODO 2

(Este método se puede deducir directamente o a partir de la resultante de la binomial coefficent del análisis anterior. Es similar al enfoque señaló en @Tad del comentario de abajo.)

Otra manera sería pensar en ellos como el número de maneras de organizar las cartas de $ZEEFFFGGG$, que es $$\binom 91\binom 82\binom 63\binom 33=\binom 9{1,2,3,3}$$ Ahora, contar el número de maneras para:

• $P,Q$ a insertarse de forma secuencial en las dos posiciones de $E,E$. (sólo $\color{purple}1$ manera)

• $A,B,C$ a insertarse de forma secuencial en las tres posiciones o $F,F,F$ ($\color{purple}4$ formas, como hay $4$ posibles arreglos de $A,B,C$)

• $D,E,F$ a insertarse de forma secuencial en las tres posiciones o $G,G,G$ ($\color{purple}4$ formas, como hay $4$ posibles arreglos de $D,E,F$)

Por lo tanto el número total de maneras de encender todas las luces está dada por $$\color{purple}1\cdot \color{purple}4\cdot \color{purple}4\cdot \binom 9{1,2,3,3}=\color{red}{80640}$$