Estoy tratando de resolver un pasado de las preguntas del examen para el que tengo sus respuestas. Tengo a la final, pero el último y más simple de la línea que ha confundido a mí. Yo he visto algunos errores y se corrigen ellos, pero creo que esta línea es correcta y yo no sé algo de teoría. Gracias!
PREGUNTA: Mostrar que $X(t)=t W(1/t)$ es un movimiento Browniano si $W(t)$ es un movimiento Browniano. Como sugerencia, se nos dice que tenemos que comprobar que $\lim_{t\to 0}X(t)=0$.s.
RESPUESTA:
Como $W(t)$, $X(t)$ también es un proceso Gaussiano.
Tenemos que comprobar que $\mathbb{E}(X(t)X(s))=\min(t,s)$.
Lo he comprobado y es correcto.
Ahora, tengo que $$\mathbb{E}\left[X(t)-X(s)\right]^2=t-s$$
para todos los $s<t$, y
$$\mathbb{E}\left[(X(t)-X(s))(X(s)-X(u))\right]=s-u-s-u=0$$ para $u<s<t$. De ahí que los incrementos son independientes $N(0,t-s)$.
LA PARTE QUE ME CONFUNDE
De acuerdo a la respuesta, por la ley de los grandes números que tenemos
$$\lim_{t\to 0}X(t)=\lim_{s\to \infty}\frac{W(s)}{s}=0$$
Pero, ¿cómo $\lim_{t\to 0}X(t)=\lim_{s\to \infty}\frac{W(s)}{s}$ suceder si $X(t)=tW(1/t)$?
