La razón por la $\mathcal D^{\mathcal C}$ es por lo general sólo se define para las categorías pequeñas $\mathcal C$ es que es sólo para las categorías pequeñas que la categoría tiende a existir más o menos independiente de la noción de clases elegido (por ejemplo, todos los functor categorías que siempre existe si utiliza un Grothendieck del universo, pero si uso "sintáctica" clases es sólo functor categorías de categorías pequeñas, que están garantizados para existir; para obtener más información sobre las diferentes nociones de clases ver a Mike Shulman expositiva artículo la Teoría de conjuntos para la Categoría de la Teoría).
Con respecto a la Yoneda lema, lo que has escrito parece confuso: $\mathcal C$ no es anti-equivalente a una subcategoría de una arbitraria $\mathcal D^{\mathcal C}$ (por ejemplo, ciertamente no si $\mathcal D=\mathbf 1\neq\mathcal C$ donde $\mathbf 1$ es la categoría con un objeto). Por otra parte, la afirmación de que (para los pequeños $\mathcal C$) $\mathcal C$ es anti-equivalente a la subcategoría de representable functors en $\mathcal Set^{\mathcal C}$ es un caso especial de la Yoneda incrustación, no la Yoneda lema.
El Yoneda lema establece que si se tiene una clase con valores de copresheaf $\mathcal F$ en categoría $\mathcal C$, luego las naturales transformaciones de lo representable clase de valores copresheaf $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)$ $F$natural bijection con la clase $\mathcal F(X)$. Una consecuencia es que la categoría de representable clase de valores copresheaves es isomorfo al frente de la categoría de $\mathcal C$.
Una categoría es localmente pequeño si cada representable clase de valores copresheaf $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)$ es representable functor a $\mathcal Set$. Dado que los conjuntos de clases pequeñas, la Yoneda lema implica que las naturales transformaciones de lo representable conjunto de valores functor $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X,-)$ a un conjunto de valores functor $F$ natural bijection con el conjunto de $F(X)$.
El cocompletion de una categoría $\mathcal C$ es un functor $\mathcal C\to\hat{\mathcal C}$ inicial entre los functors $\mathcal C\to\mathcal D$ $\mathcal D$ una categoría completa en pequeñas colimits. El Yoneda la incrustación es el cocompletion $\mathcal C\to\hat{\mathcal C}$ de un local pequeño de la categoría, que siempre existe (y $\hat{\mathcal C}$ es en realidad local pequeño). Explícitamente, el cocompletion $\hat{\mathcal C}$ es construido mediante la identificación de $\mathcal C$ con la categoría de representable (contravariante) conjunto de valores de functors $\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(-,X)$, la identificación de los objetos de $\hat{\mathcal C}$ con pequeños diagramas de representable functors, a continuación, utilizando los hechos que presheaves enviar colimits límites y que colimits de functors se calculan pointwise, para identificar a $\mathrm{Hom}_{\hat{\mathcal C}}(J,K)=\mathrm{Nat}(\mathrm{colim}_j\mathrm{Hom}(-,X_j),\mathrm{colim}_k\mathrm{Hom}(-,X_k))=\mathrm{lim}_j\mathrm{colim}_k\mathrm{Hom}_{\mathcal C}(X_k,X_j)$.
En particular, el cocompletion $\hat{\mathcal C}$ de un local categoría de pequeña siempre es un completo localmente pequeño "subcategoría" de $\mathcal Set^{\mathcal C}$, incluso si ésta es grande o no existe.
De hecho, una categoría $\mathcal C$ es equivalente a una pequeña categoría si y sólo si $\mathcal C$ $\mathcal Set^{\mathcal C}$ son tanto a nivel local pequeño, en cuyo caso el cocompletion $\hat{\mathcal C}$ es de $\mathcal Set^{\mathcal C}$; para una prueba de ver En el Tamaño de Categorías por Freyd y de la Calle.
