Mostrar $\langle x,\nabla f \rangle = pf(x)$

Question

Estoy tratando de entender este problema. Tal vez Alguien me podría dar algunos consejos/resolverlo por mí? Sería muy apreciada.

Deje $U$ ser un subconjunto de a $R^n$ y supongamos $f:U\rightarrow R$. A continuación, $f$ es homogénea de grado $p$ si $f(\lambda x) = \lambda^p f(x)$ para todos los $x\in U$, $\lambda \in R$,y $\lambda x \in U$

demostrar que

$\langle x,\nabla f(x) \rangle = pf(x)$

muchísimas gracias chicos

Answer 1

$$f(\lambda x)=\lambda^pf(x)\Longrightarrow \frac{d}{d\lambda}f(\lambda x)=xf'(\lambda x)=p\lambda^{p-1}f(x)=\frac{d}{d\lambda}(\lambda^p f(x))\Longrightarrow$$

$$\Longrightarrow \;\;\text{for}\;\;\lambda=1\;,\;\;xf'(x)=pf(x)\ldots$$

Answer 2

$$\langle x,\nabla f(x)\rangle=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+hx)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(1+h)^p-1}{h}f(x)=pf(x)$$

La fórmula anterior se tiene porque $\langle x,\nabla f(x)\rangle$ es la derivada direccional de $f$ en la dirección de $x$.