Los momentos del toroide tensoran la descomposición

Question

Actualmente estoy trabajando en mi tesis de licenciatura sobre el momento anapoleo-toroidal y parece que estoy atascado con un problema de descomposición del tensor.

En realidad nunca he tenido un curso sobre tensores, así que soy un completo novato.

Necesito expandir una densidad de corriente localizada, lo que se hace expresando la corriente a través de la distribución delta y expandiendo esta última:

$$ \vec {j}( \vec {r},t) = \int\vec {j}( \vec { \xi },t) \delta ( \vec { \xi }- \vec {r}) d^3 \xi $$ $$ \delta ( \vec { \xi }- \vec {r}) = \sum_ {l=0}^{ \infty } \frac {(-1)^l}{l!} \xi_i ... \xi_k \nabla_i ... \nabla_k \delta ( \vec {r}) $$

Así que obtengo algún resultado que contiene el siguiente tensor:

$$B_{ij...k}^{(l)}(t) := \frac {(-1)^{l-1}}{(l-1)!} \int j_i \xi_j ... \xi_k d^3 \xi $$

Hasta ahora, he entendido las matemáticas. Pero ahora viene la parte difícil. En el periódico, dice que "podemos descomponer los tensores $B_{ij...k}^{(l)}$ en tensores irreductibles, separando los distintos momentos y radios multipolares." y además "...de tercer rango, $B_{ijk}^{(3)}$ puede obviamente reducirse de acuerdo con el esquema $1 \times (2+0) = (3+1)+2+1$ . Se puede ver que la representación del peso $l=1$ se extrae dos veces de $B_{ijk}^{(3)}$ ." Y luego sigue lo que parece ser la descomposición y estoy desesperadamente perdido.

$$j_i \xi_j\xi_k = \frac {1}{3} \left [ j_i \xi_j\xi_k + j_k \xi_i\xi_j + j_j \xi_k\xi_i - \frac {1}{5} \left ( \delta_ {ij} \theta_k + \delta_ {ik} \theta_j + \delta_ {jk} \theta_i \right ) \right ] - \frac {1}{3} \left ( \epsilon_ {ijl} \mu_ {kl} + \epsilon_ {ikl} \mu_ {jl} \right )$$ $$+ \frac {1}{6} \left ( \delta_ {ij} \lambda_k + \delta_ {ik} \lambda_j - 2 \delta_ {jk} \lambda_i \right ) + \frac {1}{5} \left ( \delta_ {ij} \theta_k + \delta_ {ik} \theta_j + \delta_ {jk} \theta_i \right )$$

con

$$ \mu_ {ik} = \mu_i\xi_k + \mu_k\xi_i \ , \ \mu_i = \frac {1}{2} \epsilon_ {ijk} \xi_j j_k$$ $$ \theta_i =2 \xi_i \vec { \xi } \cdot \vec {j} + \xi ^2 j_i$$ $$ \lambda_i = \xi_i\vec { \xi } \cdot \vec {j} - \xi ^2 j_i$$

Esta descomposición obviamente contiene muchas cantidades que más tarde aparecen también en la expansión multipolar, por ejemplo, el momento magnético cuadrupolar $ \mu_ {ik}$ . Así que en el lado de la física de las cosas, esto tiene sentido para mí.

Pero no en el lado matemático. En esta pizarra encontré algunas preguntas sobre la descomposición de los tensores y en las respuestas aprendí algo sobre los tensores simétricos y antisimétricos y que cada tensor puede descomponerse en varios irreductibles, que representan mejor las propiedades físicas del sistema y las simetrías.

Pero aún así, algunas preguntas siguen ahí... 1.) ¿Qué hacen los números $ \frac {1}{3}$ , $ \frac {1}{5}$ etc. significa? ¿Esto es algún tipo de normalización? 2.) ¿Cómo se descompone el tensor exactamente? ¿Cómo puedo reconstruir lo que se ha hecho exactamente, qué pasos hay que seguir para descomponerlo así?

Answer 1

Esto parece estar relacionado con la descomposición de un tensor totalmente simétrico en partes no trazadas, que es un proceso bastante complicado. La ecuación general es $$ \mathcal {C} Q_{a_1 a_2 \cdots a_s} = \sum_ {k=0}^{[ \frac {s}{2}]} (-1)^s \frac { \binom {s}{k} \binom {s}{2k}}{ \binom {2s}{2k}} \delta_ {(a_1 a_2} \cdots \delta_ {a_{2k-1} a_{2k}} Q_{a_{2k+1} \cdots a_s)}{}^{c_1} {}_{c_1} {}^{c_2}{}_{c_2} {}^{ \cdots c_k}{}_{ \cdots c_k},$$ donde $[ \cdot ]$ denota la parte entera, la suma de Einstein está implícita y $Q_{(a_1 a_2 \cdots a_s)} \equiv \frac {1}{s!} \sum_ { \sigma\in S_s} Q_{a_{ \sigma (1)} a_{ \sigma (2)} a_{ \sigma (3)} \cdots a_{ \sigma (s)}}$ . Para el momento cuadrupolar es $ \mathcal {C}Q_{ab} = Q_{ab} - \frac {1}{3} Q^c{}_c \delta_ {ab}$ para el octopolo $ \mathcal {C}Q_{abc} = Q_{abc} - \frac {1}{5} (Q^d{}_{dc} \delta_ {ab} + Q^d{}_{da} \delta_ {bc}+ Q^d{}_{db} \delta_ {ac})$ que dan lugar a los factores de su pregunta.

Una indicación (tal vez una prueba, aunque no estoy seguro de esto en este momento) de que la parte sin traza de un tensor totalmente simétrico es una representación irreducible es fácil de ver si se utiliza la fórmula del gancho en la dimensión 3. Un tensor totalmente simétrico de rango $s$ tiene $ \frac {1}{2}(s+1)(s+2)$ grados de libertad y el que no tiene rastro tiene este último menos el número de formas de obtener los rastros, $ \binom {s}{2}$ que da lugar a $2s+1$ . Esta es la dimensión de la representación irreducible del álgebra del SO(3) con espín $s$ . Una prueba completa de esta declaración está en Maggiore Ondas gravitacionales - teoría y experimentos .

Referencia: F.A.E. Pirani Conferencias sobre la Relatividad General 1965.