Cálculo de $f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln \left(1+x\cdot \tan z\right)dz$

Question

Si $\displaystyle f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln \left(1+x\cdot \tan z\right)dz,$ donde $x>-1$. A continuación, el valor de $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right) = $

$\bf{My\; Try::}$ $\displaystyle f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\ln \left(1+x\cdot \tan z\right)dz$

$\displaystyle \Rightarrow f^{'}(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan z}{1+x\cdot \tan z}dz = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\frac{2\tan \frac{z}{2}}{1-\tan^2 \frac{z}{2}}}{1+x\cdot \frac{2\tan \frac{z}{2}}{1-\tan^2 \frac{z}{2}}}dz = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{2\tan \frac{z}{2}}{1-\tan^2\frac{z}{2}+2x\cdot \tan \frac{z}{2}}dz$

Ahora Vamos A $\displaystyle \tan \frac{z}{2}=t$, $\displaystyle dz=\frac{2}{1+t^2}dt$

Por lo $\displaystyle f^{'}(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{4t}{1-t^2+2x\cdot t}dt$

Ahora, ¿Cómo puedo solucionar después de que

Por favor me Ayudan

Gracias

Answer 1

Hay un poco de la manera más simple de proceder: una vez que llegue a $$f^\prime(x) = \int_0^{\pi/4} \frac{\tan z}{1+x \tan z} dz,$$ make the substitution $u = 2 z,$ por lo que la integral se convierte en $$\frac12\int_0^{\pi/2} \frac{\tan u/2}{1+x \tan u/2} du.$$ Now make the substitution $\tan u/2 = t,$ para obtener $$\int_0^1 \frac{t}{(1+ x t)(1+t^2)} dt.$$

Esto es fácilmente integrado por fracciones parciales, para darle $$ \frac{\pi x-4 \log (x+1)+\log (4)}{4 x^2+4}. $$ Usted puede ir a partir de allí, aunque yo no podría describir esto como super divertido.