¿Cuál es una explicación intuitiva utilizando fuerzas para el abultamiento ecuatorial?

Question

La tierra no es una esfera, porque se abulta en el ecuador.

Intenté jugar con ecuaciones de fuerza centrípeta y gravedad, pero no pude deducir por qué ocurre este abultamiento.

¿Hay

(a) una explicación matemática utilizando fuerzas (no energías) y

(b) una explicación intuitiva simple para explicar a otros por qué ocurre el abultamiento?

Answer 1

La protuberancia ecuatorial de un planeta es causada por la combinación de la gravedad y la fuerza centrífuga. Para demostrar esto, primero haré algunas suposiciones:

• Se asume que el planeta está compuesto por un líquido de densidad constante.
• Todo el líquido está en reposo con respecto a sí mismo, lo que significa que no hay tensiones de cizallamiento dentro del líquido, ya que esto induciría un flujo.
• La protuberancia ecuatorial es pequeña, de modo que la aceleración debido a la gravedad, $\vec{a}_g$, en la superficie se puede aproximar por: $\vec{a}_g = -G\frac{M}{\|\vec{x}\|^3}\vec{x}$, donde $G$ es la constante gravitatoria, $M$ es la masa del planeta y $\vec{x}$ es la posición en la superficie relativa al centro de masa del planeta.
• El planeta es simétrico con respecto al eje y rota alrededor de este eje con una velocidad angular constante $\omega$.

Un pequeño volumen, $dV$, experimenta dos aceleraciones volumétricas, a saber, gravitatoria y centrífuga, y fuerzas normales por el líquido vecino en términos de presión. La suma de todas las aceleraciones en $dV$ debería ser cero para cumplir con la segunda suposición (la aceleración centrífuga ya tiene en cuenta que el marco de referencia está rotando). En cualquier punto de la superficie hay una presión constante, porque por encima de ella habría el vacío del espacio. Esto significa que el líquido vecino, también en la superficie, tiene la misma presión y por lo tanto no puede ejercer ninguna fuerza entre sí en el plano de la superficie. La única dirección en la que el líquido puede ejercer fuerza entre sí es en la dirección normal a la superficie. Sin embargo, la suma de todas las aceleraciones aún debería ser cero y, por lo tanto, la suma de la aceleración gravitatoria y centrífuga también debería apuntar en la dirección normal de la superficie.

La magnitud de la aceleración gravitatoria, $a_g$, está definida por la tercera suposición y su dirección es siempre radial hacia adentro. La magnitud de la aceleración centrífuga, $a_c$, es igual a:

$$a_c = \omega^2 \sin\phi\ \|\vec{x}\|,$$

donde $\phi$ es igual a $\pi/2$ menos la latitud; su dirección siempre es paralela al plano del ecuador y su línea de acción siempre pasa por el eje de rotación. Estas aceleraciones están ilustradas en la figura a continuación.

Para la siguiente parte, definiré vectores unitarios locales $\vec{e}_r$ y $\vec{e}_t$, donde $\vec{e}_r$ apunta en la dirección radial hacia afuera local y $\vec{e}_t$ es perpendicular a él, yace en el plano generado por el eje de rotación y $\vec{x}$ y mira en la dirección más cercana al ecuador. La dirección de los vectores también corresponde con los vectores grises en la figura anterior. Utilizando estos vectores unitarios, la suma vectorial de las aceleraciones gravitatoria y centrífuga se puede escribir como

$$\vec{a}_g + \vec{a}_c = \vec{e}_r \left(\omega^2 \sin^2\!\phi\ \|\vec{x}\| - G\frac{M}{\|\vec{x}\|^2}\right) + \vec{e}_t\ \omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ \|\vec{x}\|.$$

Si no hubiera protuberancia, entonces el vector normal debería apuntar siempre hacia afuera radialmente. Sin embargo, el vector normal debe apuntar en la dirección opuesta a la ecuación anterior, lo que significa que para $\omega>0$ no apuntará en la misma dirección que $-\vec{e}_r$ para todos los valores de $\phi$. Esto significa que la superficie tendrá una pequeña pendiente, $\alpha$, en relación con $\vec{e}_t$

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{\omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ \|\vec{x}\|}{G\frac{M}{\|\vec{x}\|^2} - \omega^2 \sin^2\!\phi\ \|\vec{x}\|}\right).$$

Una pendiente significa un cambio de altura y, por lo tanto, de radio, al desplazarse horizontalmente. Para simplificar la expresión, $r$ sustituirá a $\|\vec{x}\|$. Para una pendiente $\alpha$, el cambio del radio, $dr$, para un pequeño cambio en $\phi$, $d\phi$, será igual a:

$$dr = \tan\alpha\ r\ d\phi.$$

Sustituyendo en la ecuación para $\alpha$, se obtiene la siguiente ecuación diferencial

$$\frac{dr}{d\phi} = \frac{\omega^2 \sin\phi\ \cos\phi\ r^2}{G\frac{M}{r^2} - \omega^2 \sin^2\!\phi\ r} .$$

Cuando $\phi$ es igual a $0$ o $\frac{\pi}{2}$, los polos y el ecuador respectivamente, esta ecuación será cero, sin embargo, para cualquier valor intermedio, será positiva, ya que si el denominador se tornara negativo, significaría que la fuerza centrífuga sería mayor que la gravedad y el líquido sería arrojado al espacio. Por lo tanto, este planeta tendría el radio más pequeño cerca de los polos, después de lo cual el radio aumentará con $\phi$ hasta llegar al ecuador.

Answer 2

Hay un artículo de wikipedia que describe el efecto http://en.wikipedia.org/wiki/Equatorial_bulge

Básicamente, la protuberancia es causada por la rotación de la Tierra. La fuerza centrípeta está dada por $F=m\omega^2 r$. Por lo tanto, los polos sienten una fuerza menor que el ecuador, que quiere girar hacia afuera en un disco. Esto se equilibra con la gravedad que quiere que la Tierra sea esférica.

Matemáticamente, el achatamiento de la Tierra es $$f = \frac{5}{4} \frac{\omega^2r_a^3}{GM}$$ donde $r_a$ es el radio promedio y $f$ es la relación entre los radios mayor y menor.

Answer 3

Si alguna vez has visto cómo se hace una pizza a mano, sabrás que cuando el panadero lanza el disco de masa al aire, lo hace girar. Mientras lo hace, la "pizza" se va haciendo más grande porque la masa en el exterior experimenta una fuerza centrífuga mayor (en el marco de referencia rotativo de la pizza. No empieces con "no existe tal cosa", pediste una respuesta intuitiva).

Ahora piensa en la tierra como esa pizza. Los pedazos de la tierra cerca del ecuador (a una mayor distancia del eje de rotación) sienten una fuerza mayor, y por lo tanto intentan moverse hacia afuera. La fuerza de gravedad intenta jalarlos de regreso. El equilibrio es una esfera ligeramente distorsionada: el "bulto".

Bastante simple, espero.