Mostrar que $P(X=c)=1 $para alguna constante c

Question

Supongamos $X$ $Y$ son independientes de las variables aleatorias, también se $X$ $X-Y$ son independientes. Demostrar que $$P(X=c)=1$$ para alguna constante c.

He intentado usar el momento de generación de función, por favor, dame algunas pistas.

Answer 1

$\mathbb{E}X^2=\mathbb{E}X(X-Y+Y)=\mu_X(\mu_X-\mu_Y)+\mu_X\mu_Y=\mu_X^2\Rightarrow P(X=c)=1$ , lo que sigue a partir de la CS de la desigualdad.

Answer 2

He aquí un bosquejo de una prueba que no requiere de la existencia de momentos. La función característica de a $(X,X-Y)$ es $$ E[e^{iXt+i(X-Y), s}]=E[e^{iXt}]E[e^{i(X-Y), s}]=E[e^{iXt}]E[e^{iXs}]E[e^{-ais}] $$ donde la igualdad siga por la independencia de $X$ $X−Y$ y la independencia de $X$$Y$. También tenemos por la independencia de $X$ $Y$ que, $$ E[e^{iXt+i(X-Y), s}]=E[e^{iX(t+s)}]E[e^{-ais}] $$ la combinación de esta (y tomando nota de que $E[e^{-iYs}]$ es distinto de cero en un barrio alrededor del origen), $$ E[e^{iXt}]E[e^{iXs}]=E[e^{iX(t+s)}] $$ esto implica que $X$ es independiente de $X$, por lo que debe ser una constante (o, equivalentemente, podemos utilizar Cauchy funcional de la ecuación http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_functional_equation y la continuidad alrededor del origen).