¿Cómo calcular este determinante de matriz elevado a la máxima potencia?

Question

Estoy tratando de prepararme para mi examen de álgebra lineal haciendo algunas tareas al azar y con esta estoy bastante atascado.

$$A = \begin{pmatrix} 8-5i & -6 \\ 4-5i & -3+5i \end{pmatrix}$$ Dada esta matriz $A$ tengo que calcular el determinante de $A^{-2013}$ . Traté de hacer esto mediante el uso de los valores propios. Y sé que esta matriz tiene inversión ( ya que $det(A) \neq 0$ ), por lo que es cierto que $det (A^{-2013}) = det (A^{2013})^{-1}$ . Lo que más tengo es que los valores propios son $\lambda_1 = 5-5i$ y $\lambda_2 = 5i$ . Con ello, podemos utilizar la matriz de similitud B que $$B= \begin {pmatrix} 5-5i & 0 \\ 0 & 5i \end{pmatrix}$$ y $$A = P^{-1}\times B \times P$$ así que tenemos que encontrar $A \times C = B$ Y esta es la parte con la que estoy atascado... No tengo ni idea de cómo hacerlo bien, porque con la multiplicación matricial directa termino con 4 ecuaciones complicadas. De ahí creo que está bien hacer $( P^{-1} \times B \times P ) ^{2013} = (P^{-1} \times B \times P \times P^{-1} \times B \dots ) = P^{-1} \times B^{2013} \times P$ Así que la respuesta final será $det(P^{-1} \times B^{2013} \times P)^{-1}$ ya que $B$ es una matriz diagonal, elevarla a la potencia 2013 será fácil. Así que, por favor, ayúdenme a resolver esta parte tan difícil, no quiero que se complique demasiado :-) ¡¡¡Gracias de antemano!!!

Answer 1

Esto es mucho más sencillo, $\det(A^n)=\det(A)^n$ . Y considera también que $(1-i)^2=-2i$ .