Tomando un derivado de ambos lados de la ecuación

Question

Nuestro maestro trató de explicarnos cómo encontrar un pendiente en un punto dado de la función $y^2 = 2px$ tomando la derivada de ambos lados de la ecuación, hizo esto: $$y^2= 2px $$ $$2yy' = 2p$$ $$ y' = \frac{p}{y}$$ No he entendido en la segunda parte del proceso, será agradecido por una lógica y clara explicación :)

Answer 1

Cuando nos encontramos derivado de algún término. En primer lugar nos encontramos la derivada de la energía, entonces la derivada de plazo.

De modo que el lado izquierdo de la segunda etapa,

$\frac{d}{dx}y^2 = 2y^{2-1}.\frac{d}{dx}y$

= $2y^{1}.\frac{dy}{dx}$

Y usted puede escribir $\frac{dy}{dx} = y'$

Así tenemos,

= $2y.y'$

En el segundo paso en el lado derecho,

$\frac{d}{dx}(2px)$

= 2p$\frac{d}{dx}x$

Como 2 y p es constante y la derivada de x con respecto a x es 1.

= 2p

En el pasado,

2y.y' = 2p.

$y' = \frac{p}{y}$

Answer 2

Se pondrá de manifiesto si sabe el concepto de diferenciación implícita.

Así tenemos que $$y^2=2px $$ $$\Rightarrow 2y\frac {dy}{dx} =2p\frac {dx}{dx} $$ $$\Rightarrow 2yy'= 2p $$ $$\Rightarrow y'=\frac {p}{y} $$ where $y^{(n)} $ is the nth derivative of $s$ (we generally use $y', y",$, etc. para bajar derivados, pero no es recomendable para los más pequeños). Espero que ayude.

Answer 3

Esto es sólo la regla de la cadena que presumiblemente aprendido acerca de los anteriores en calc, pero la notación es más compacto. Recordar la regla de la cadena dice que $$ \frac{d}{dx}f(y(x)) = f'(y(x))y'(x) $$

El lado izquierdo de la segunda línea es sólo la regla de la cadena aplicado para $f(y) = y^2$. Desde $f'(y) = 2y,$ hemos $$ \frac{d}{dx}(y(x))^2 = 2y(x)y'(x). $$

Answer 4

$y$ es una función de $x$. $y^2$ se diferencia con respecto a la variable independiente $x$ usando la Regla de la Cadena. En lugar de cada vez de escribir como la siguiente

$$y(x)^2= 2px, \,2y(x)y'(x) = 2p,\, y^{\prime}(x) = \frac{p}{y(x)}$$

su maestro ha omitido repetitivo paréntesis $(x)$, asumiendo que se puede apreciar que el $p$ es una constante y $x,y$ son variables.

BTW $p$ es el doble de la longitud focal de la parábola que tiene una propiedad que los sub-normal ( con proyección en el eje x $=p)$ es siempre constante para el normal se muestra en rojo.