$a$ es un número entero tal que:
$$a \mid \gcd(b_1,b_2,\ldots,b_z)$$
y $z$ puede ser muy grande.
¿El MCD enfoque de $a$ $z$ crece? Si sí, ¿cuál es la relación entre el$z$$a$?
Gracias...
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Xenph Yan
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El uso de la constante de la secuencia $b_n=2$ todos los $n$, y la elección de $a=1$, tenemos $$\begin{align*} a&\mid \gcd(b_1) & 1 &\mid 2 & \checkmark\\\\ a&\mid \gcd(b_1,b_2) & 1 &\mid 2 & \checkmark\\\\ a&\mid \gcd(b_1,b_2,b_3) & 1 &\mid 2 & \checkmark\\\\ &&\Large\vdots \end{align*}$$ pero $\gcd(b_1,\ldots,b_z)=2$ para cualquier elección de $z$, y no se $a=1$.
Pedro Sánchez Terraf
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Creo que estoy a punto de responder a una diferente de la pregunta, pero tal vez había algo similar en mente. Podría ser una exageración, pero aquí voy.
En el enunciado de su pregunta, usted parece entender que al tomar más y más muestras de la $b_i$, todos ellos divisible por $a$, debe ser el caso de que "en el límite, $\gcd(b_1,\dots,b_z)$ debe acercarse $a$".
En la siguiente sólo voy a discutir el caso de $a=1$; voy a abandonar el caso general como "un ejercicio para el lector".
Se puso de manifiesto en los comentarios y en @ZevChonoles respuesta que una simple interpretación de que esto no tiene sentido, especialmente desde que los enteros son discretos (en oposición a los números reales, donde usted puede acercarse indefinidamente a un número). Pero podemos preguntar
(1) que es la probabilidad de que $z$ enteros tomado "al azar" ha $\gcd$ igual a $1$ (aquí el requisito de que $a$ dividir cada una de las $b_i$ trivializa).
Incluso la definición de cómo dos enteros son "tomados al azar" debe hacerse con cuidado; en este caso, decimos que la probabilidad de que un número natural $n$ satisface una propiedad $P(n)$ es considerado como el límite del cociente $$ \frac{\# \{n \in \mathbb{N}: n \leq N \text{ y } P(n)\}}{\# \{n \in \mathbb{N}: n \leq N \}} $$ como $N$ enfoques infinito (siempre que este límite existe).
De nuevo a la pregunta (1), en el caso de $z=2$ es un problema clásico, y se ha abordado en otras cuestiones, como por ejemplo este. La respuesta es $\frac{1}{\zeta(2)} = \frac{6}{\pi^2}$ donde $\zeta$ es de Riemann zeta función. Ahora voy a reformular su pregunta de la siguiente manera:
(2) $z$ enteros $b_1,\dots,b_z$ al azar, todos ellos divisible por $a$. A continuación, el límite de la probabilidad de que $\gcd(b_1,\dots,b_z) = a$$z\to\infty$$1$.
Recordar que estoy trabajando bajo la suposición de $a=1$. Por lo tanto, estamos interesados en conocer la probabilidad de que $z$ enteros son coprime. Ahora este artículo de la Wikipedia estados una generalización del resultado que hemos citado para $z=2$: Esta probabilidad es $\frac{1}{\zeta(z)}$. Ahora, se puede ver que $\lim_{z\to\infty} \frac{1}{\zeta(z)}=1$. Esto muestra que la interpretación de la pregunta dada por (2) es cierto.
