Límite multivariable

Question

Estoy tratando de encontrar el siguiente límite: $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{\ln(e+3x^2+3y^2+x^2y^3+x^3y^2)-\sqrt{1+2x^2+2y^2+x^4+y^4}}{\ln(1+x^2+y^2+x^4+y^4)}$$

He resuelto el límite a lo largo de $x=0$ , $y=0$ y $x=y$ y tengo $\frac{3}{e} -1$ para todos ellos. A continuación, he utilizado wolfarm para comprobar si el límite existe o no, existe y es igual al valor mencionado anteriormente, pero no soy capaz de encontrar una manera de mostrar que a lo largo de todos los caminos a $(0,0)$ el límite es igual a $\frac{3}{e} -1$

Answer 1

Ignorar los términos de grado $>2$ y utilizando coordenadas polares su límite se convierte en $$\lim_{\rho \to 0} \frac{\ln (e+3\rho^2) - \sqrt{1+ 2 \rho^2}}{\ln(1+ \rho^2)}$$ que se puede calcular fácilmente (llamar a $r= \rho^2$ para conseguir una mayor simplificación), y es igual a $\frac{3}{e}-1$