¿Por qué es la canónica de la filtración de un movimiento Browniano de izquierda continua?

Question

Deje $\{W_t, t\geq 0\}$ ser un movimiento Browniano, y tiene un.s. la muestra continua de caminos.

Deje $\{\mathcal{F}^W_t, t\geq 0\}$ ser canónica de la filtración, es decir,$\mathcal{F}^W_t=\sigma(W_s, 0\leq s\leq t)$.

Entonces, ¿por qué es $\{\mathcal{F}^W_t, t\geq 0\}$ a la izquierda-continua? es decir,$\displaystyle{\bigcup_{s<t}}\mathcal{F}^W_s= \mathcal{F}^W_t$.

Muchas gracias!

Answer 1

Si desea seguir utilizando una.s. la muestra continua de rutas, usted necesita para aumentar la filtración.

Si usted no desea aumentar la filtración, supongamos $W_t$ es siempre continua.

A continuación, se aplican $\lim_{s\uparrow t}W_s = W_t$, casi seguramente(si completa la filtración) o siempre(si supongamos $W_t$ es siempre continua)